Pressione di degenerazione

Etimologia e storia#

L’aggettivo “degenere” viene dal latino degener, composto da de- e genus: ciò che si è allontanato dalla propria stirpe, che non somiglia più a ciò da cui deriva. In fisica il termine entrò nei primi decenni del Novecento nella forma tedesca Entartung, per indicare un gas che a temperature molto basse smette di comportarsi come prevede la legge dei gas perfetti¹. Secondo gli storici della fisica, fu probabilmente Walther Nernst a introdurre questo termine. Albert Einstein lo riprese nel 1924-1925, nei lavori sulla teoria quantistica dei gas perfetti.

Il fondamento fisico del fenomeno arrivò poco dopo. Nel 1925 Wolfgang Pauli formulò il principio di esclusione² e nel 1926 Enrico Fermi e Paul Dirac, in modo indipendente, ne dedussero la statistica che descrive un gas di particelle soggette a quel principio, come gli elettroni. Nel dicembre dello stesso anno Ralph H. Fowler applicò la nuova statistica alle nane bianche³. Fowler mostrò che la loro enorme densità⁴ poteva essere sostenuta dalla pressione di un gas degenere di elettroni, anche dopo l’esaurimento di ogni fonte di calore. Tra il 1929 e il 1931 Wilhelm Anderson, Edmund Stoner e Subrahmanyan Chandrasekhar aggiunsero gli effetti della relatività ristretta, che verranno spiegati più avanti, e scoprirono che questa pressione può sostenere una stella solo fino a una certa massa. Il valore di quel limite, calcolato da Chandrasekhar nel 1931, porta oggi il suo nome.

Sulle unità di misura#

Tutte le grandezze nominate da qui in avanti sono espresse nelle unità del Sistema Internazionale: le lunghezze in metri, le masse in chilogrammi, i tempi in secondi, le temperature in kelvin, le energie in joule e le pressioni in pascal.

Il Sistema Internazionale di unità di misura (SI) è il sistema adottato dalla comunità scientifica di tutto il mondo. Si fonda su sette unità fondamentali, da cui derivano tutte le altre. Quattro di esse compaiono in questa voce: il metro ($\mathrm{m}$), il chilogrammo ($\mathrm{kg}$), il secondo ($\mathrm{s}$) e il kelvin ($\mathrm{K}$). Al di fuori di queste sette, tutte le altre unità, tra cui il newton, il joule e il pascal, sono derivate, cioè si ottengono combinando quelle fondamentali. Il newton ($\mathrm{N}$) è la forza che imprime a un chilogrammo un’accelerazione di un metro al secondo ogni secondo. Il joule ($\mathrm{J}$) è l’energia trasferita da una forza di un newton a un corpo che, sotto la sua azione, si sposta di un metro nella direzione della forza⁵. Il pascal ($\mathrm{Pa}$) è la pressione esercitata da una forza di un newton distribuita su un metro quadrato. Una densità numerica si misura in particelle per metro cubo e si scrive $\mathrm{m^{-3}}$, cioè $1/\mathrm{m^3}$. Molti testi di astrofisica usano ancora il sistema CGS, basato su centimetri, grammi e secondi: lì le densità sono in $\mathrm{g/cm^3}$ e le pressioni in $\mathrm{dyn/cm^2}$ ($1\ \mathrm{Pa} = 10\ \mathrm{dyn/cm^2}$).

Una pressione che non ha bisogno di calore#

In un gas ordinario, la pressione è dovuta alla quantità di moto delle particelle, che si muovono in modo disordinato in tutte le direzioni. In un recipiente questo moto si manifesta come la spinta delle particelle che urtano le pareti, ma la pressione esiste in ogni punto del gas, anche dove non c’è alcuna parete, come all’interno di una stella: ogni particella urta e spinge le sue vicine e viene a sua volta urtata e spinta da esse. La quantità di moto delle particelle dipende dalla temperatura. Se il gas si raffredda, le particelle rallentano e la pressione cala. Se la temperatura si avvicinasse allo zero assoluto, la pressione tenderebbe a zero. È questo il comportamento descritto dalla legge dei gas perfetti:

dove $P$ è la pressione, $n$ il numero di particelle per unità di volume, $T$ la temperatura assoluta⁶ e $k$ la costante di Boltzmann⁷. Per avere un’idea dei numeri in gioco, si può usare la stessa legge al contrario:

Con la pressione atmosferica, $P \approx 101\,325\ \mathrm{Pa}$, e la temperatura tipica di una stanza, $T \approx 293\ \mathrm{K}$, si ottiene $n \approx 2{,}5 \times 10^{25}\ \mathrm{m^{-3}}$: in ogni metro cubo d’aria ci sono circa venticinque milioni di miliardi di miliardi di molecole.

In una stella come il Sole è proprio questa pressione termica, mantenuta dal calore prodotto dalle reazioni nucleari, a reggere il peso degli strati esterni e a mantenere la stella in equilibrio idrostatico. Quando le reazioni nucleari si spengono, la stella perde la sua fonte di calore interna e, con essa, la pressione che ne derivava. La gravità torna a prevalere, il nucleo stellare si contrae e la sua densità aumenta.

Se le particelle del nucleo seguissero le leggi della fisica classica, la contrazione avanzerebbe sempre più spedita, a mano a mano che il calore interno viene disperso nello spazio. Nel plasma stellare, però, gli elettroni seguono le regole della meccanica quantistica e due di queste regole cambiano radicalmente il quadro. La prima è il principio di esclusione di Pauli: due elettroni non possono trovarsi nello stesso stato quantico. La seconda è il principio di indeterminazione⁸: un elettrone confinato in una regione di spazio non può essere del tutto fermo, ma possiede sempre una quantità di moto minima. Più si restringe lo spazio a sua disposizione, più grande è la quantità di moto che deve possedere. Quanto conti questo effetto lo dicono i numeri. Chiuso in una scatola di un centimetro, un elettrone deve avere una velocità minima di circa un centimetro al secondo, un valore trascurabile. Se invece è confinato nello spazio di un atomo, circa un decimo di miliardesimo di metro ($\sim10^{-10}\,\text{m}$), la sua velocità minima supera i mille chilometri al secondo.

Possiamo immaginare gli stati quantici disponibili come i posti sulle gradinate di un grande anfiteatro. È un anfiteatro immaginario, con regole precise. Gli spettatori sono tutti uguali e hanno gli stessi diritti: nessuno ha un posto riservato, nessuno può sedersi su un posto già occupato e si riempiono sempre per prime le file più basse. L’anfiteatro, inoltre, è alto quanto serve: per quanto lo si restringa, ha sempre file sufficienti ad accogliere tutti. Immaginiamo infine che il contegno degli spettatori cambi con l’altezza: nelle prime file si sta composti, quasi immobili; salendo, il pubblico è sempre più vivace e irrequieto e, nelle file più alte, nessuno sta fermo un istante.

In ogni fila, i posti sono raggruppati a coppie. Ogni spettatore porta un cappello double-face, rosso da un lato e verde dall’altro. Ogni coppia di posti deve essere occupata da uno spettatore che mostra il lato rosso del cappello e da uno che mostra il lato verde. I due spettatori non devono per forza arrivare insieme. Se in una coppia di posti si è già seduto qualcuno che mostra il lato rosso del cappello, il posto libero potrà essere occupato, anche molto più tardi, da chiunque mostri il lato verde. Chi arriva con il rosso in vista non deve cercare posto altrove: gli basta rivoltare il cappello. Nessuno, inoltre, può salire a una fila più alta finché in quelle più basse resta anche un solo posto libero. Solo quando tutte le coppie di posti di una fila sono complete, i nuovi arrivati iniziano a riempire la fila successiva, e così via, salendo sempre più in alto, dove l’agitazione dei presenti è sempre maggiore.

Comprimere un gas equivale a restringere l’anfiteatro: ogni fila si accorcia e offre meno coppie di posti, per cui gli stessi spettatori devono distribuirsi su un numero maggiore di file. Nel linguaggio della fisica gli spettatori sono gli elettroni, ogni coppia di posti è uno stato di moto⁹ e il colore mostrato dal cappello corrisponde al valore dello spin¹⁰; salire di fila significa occupare uno stato di energia più alta, cioè muoversi più velocemente. Questa agitazione, imposta dalle regole dell’occupazione degli stati e non dal calore, si traduce in una pressione: la pressione di degenerazione. Tale effetto non si manifesta in un gas ordinario, molto meno denso. In questo caso, la compressione restringe ugualmente l’anfiteatro usato nella nostra analogia, ma non obbliga gli spettatori a occupare file più alte: i posti nelle file basse sono ancora così numerosi rispetto agli spettatori che ognuno trova facilmente da sedersi. In oggetti compatti come le nane bianche, invece, il gas è compresso a tal punto che le file basse dell’anfiteatro immaginario sono tutte occupate e gli altri spettatori sono costretti a sistemarsi in file sempre più alte.

Un gas in cui gli stati di bassa energia sono tutti occupati e in cui le particelle si muovono veloci per questo motivo e non per il calore, si dice degenere. In un gas fortemente degenere un aumento o una diminuzione della temperatura cambia pochissimo la pressione, perché il moto termico conta poco rispetto a quello imposto dalla meccanica quantistica.

Contare gli stati disponibili#

Per trasformare l’immagine dell’anfiteatro in una formula, bisogna sapere quante coppie di posti ci sono su ciascuna fila. Il posto di un elettrone è definito da due informazioni: dove si trova e con quale quantità di moto si muove. Posizione e quantità di moto hanno tre componenti ciascuna, una per ogni direzione dello spazio. Insieme definiscono un punto in uno spazio a sei dimensioni, lo spazio delle fasi¹¹.

A causa del principio di indeterminazione, lo spazio delle fasi si comporta come se fosse diviso in celle elementari, ciascuna di volume $h^3$, dove $h$ è la costante di Planck¹². Ogni cella rappresenta uno stato di moto: al di sotto di quel volume non esistono stati diversi da distinguere. Nella metafora dell’anfiteatro, ciascuna cella corrisponde a una coppia di posti, che, per il principio di Pauli, può ospitare al massimo due spettatori, uno che mostra il lato rosso del cappello e uno che mostra il lato verde. Fuor di metafora: due elettroni con spin opposti.

Contiamo ora quanti stati ha una quantità di moto inferiore a un certo valore. Per farlo conviene guardare la metà dello spazio delle fasi relativa, non alla posizione, ma al moto delle particelle: lo spazio delle quantità di moto. Si tratta di un normale spazio a tre dimensioni, in cui, invece delle lunghezze, sui tre assi si misurano le tre componenti della quantità di moto, $p_x$, $p_y$ e $p_z$. Ogni stato di moto di un elettrone corrisponde a un punto di questo spazio, indicato da una freccia che parte dall’origine (il punto in cui la quantità di moto è nulla): è il vettore quantità di moto, $\vec{p}$. La freccia punta nella direzione in cui si muove l’elettrone; la sua lunghezza, che indichiamo con $p$ senza freccia, misura quanto è grande la sua quantità di moto. Tutti gli stati con quantità di moto inferiore a $p$, in qualunque direzione, hanno quindi la punta della freccia dentro una sfera centrata nell’origine e di raggio $p$, il cui volume è $\frac{4}{3}\pi p^3$.

Moltiplicando il volume della sfera nello spazio delle quantità di moto per il volume $V$ che il gas occupa nello spazio fisico, otteniamo il volume corrispondente nello spazio delle fasi. Non è un volume che si possa misurare con un metro, perché combina distanze e quantità di moto, ma il suo significato è concreto: raccoglie tutte le combinazioni di posizione e quantità di moto che un elettrone con quantità di moto minore di $p$ può avere dentro il gas. Dividendo per $h^3$, il volume di una cella, otteniamo il numero di celle, un numero puro come quello dei libri che stanno su uno scaffale. Raddoppiando per i due spin possibili, otteniamo il numero di elettroni che possono trovare posto:

Il simbolo $N(p)$, che si legge “N di p”, indica che, per un volume $V$ dato, il numero di elettroni ospitabili dipende dal valore di $p$ scelto come soglia. Anche il volume conta: a parità di $p$, il numero di posti è proporzionale a $V$. Se il gas viene compresso a metà volume, il numero totale di elettroni resta lo stesso, ma gli stati con quantità di moto minore di quel valore $p$, cioè quelli dentro la sfera di raggio $p$, si riducono alla metà e possono quindi accogliere solo la metà degli elettroni di prima: gli altri sono costretti a occupare stati con quantità di moto maggiore. La formula dice una cosa importante: il numero di posti disponibili cresce con il cubo della quantità di moto ($p^3$). I posti non finiscono mai, ma per trovarne di nuovi bisogna salire a quantità di moto, quindi a energie, sempre più alte.

Ora mettiamo nel volume $V$ un numero $N$ di elettroni, a temperatura così bassa da trascurare il moto termico. In assenza di energia termica, gli elettroni occupano gli stati dal basso verso l’alto, finché non sono tutti sistemati. L’ultimo stato occupato ha una quantità di moto che si chiama impulso di Fermi e si indica con $p_F$. Per trovarne il valore bisogna imporre che la sfera di raggio $p_F$, chiamata sfera di Fermi, contenga esattamente tutti gli $N$ elettroni, né uno di più né uno di meno. Nella formula del conteggio, quindi, al posto di $p$ si mette $p_F$ e al posto di $N(p)$ il numero di elettroni del gas:

Dividendo entrambi i membri per il volume $V$, a sinistra compare $N/V$, cioè il numero di elettroni per metro cubo: è la densità numerica degli elettroni, che indichiamo con $n$. Il volume scompare dall’equazione e l’impulso di Fermi risulta dipendere soltanto dalla densità, non dalla quantità totale di gas:

Per isolare $p_F^3$ basta moltiplicare entrambi i membri per $\frac{3h^3}{8\pi}$, cioè per lo stesso fattore capovolto, che così a destra si semplifica:

Scambiando i due membri otteniamo:

Resta da estrarre la radice cubica di entrambi i membri, che si indica con l’esponente $1/3$. La radice di un prodotto è il prodotto delle radici dei singoli fattori e la radice cubica di $h^3$ è semplicemente $h$:

La seconda espressione è la stessa formula, riscritta con la costante ridotta $\hbar = h/2\pi$: sostituendo $h = 2\pi\hbar$ e portando il fattore $2\pi$ sotto la radice cubica, i numeri si semplificano e rimane $3\pi^2$.

Il significato è semplice. Più il gas è denso, più in alto devono salire gli ultimi elettroni: l’impulso di Fermi scala con la radice cubica della densità. Se la densità aumenta di otto volte, l’impulso di Fermi raddoppia. L’energia corrispondente si chiama energia di Fermi, $E_F$. Per elettroni non troppo veloci si ricava dalla relazione classica tra energia cinetica e quantità di moto. L’energia cinetica di un corpo di massa $m$ che si muove con velocità $v$ è $E = \frac{1}{2}mv^2$ e la sua quantità di moto è $p = mv$, da cui $v = p/m$. Sostituendo $v$ nella prima formula, una delle due masse si semplifica:

Per l’elettrone più energetico del gas basta porre $p = p_F$ e usare, al posto di $m$, la massa dell’elettrone $m_e$. Si ottiene così l’energia di Fermi:

Poiché l’impulso di Fermi scala con $n^{1/3}$, il suo quadrato, e con esso l’energia di Fermi, scala con $n^{2/3}$.

Dalla densità alla pressione#

Come abbiamo visto, la pressione nasce dagli urti delle particelle: è la forza che esse esercitano, urtando, su ogni metro quadrato di superficie, e una forza equivale alla quantità di moto trasferita ogni secondo. La pressione si può quindi stimare moltiplicando tre fattori: quante particelle ci sono per unità di volume ($n$), quanta quantità di moto ($p$) trasferisce ciascuna di esse in un urto e con quale velocità si muove ($v$), il che stabilisce quanto spesso si ripetono gli urti. Un primo calcolo approssimato, che sfrutta il solo principio di indeterminazione, rende evidente il meccanismo.

In un gas di densità $n$, ogni elettrone ha a disposizione in media un volume $1/n$¹³. Lo spazio in cui è confinato ha quindi una dimensione lineare di circa $\Delta x \approx n^{-1/3}$. Per il principio di indeterminazione la sua quantità di moto è almeno dell’ordine di $p \approx \hbar/\Delta x = \hbar\, n^{1/3}$ e la sua velocità è $v = p/m_e$. La pressione risulta:

Poiché $v = p/m_e$, il prodotto $p \cdot v$ diventa $p^2/m_e$:

Sostituendo $p \approx \hbar\, n^{1/3}$, il quadrato della quantità di moto vale $p^2 \approx \hbar^2\, n^{2/3}$, perché elevare al quadrato una potenza significa moltiplicarne l’esponente per due:

Infine, quando si moltiplicano due potenze della stessa base gli esponenti si sommano. Poiché $n$ equivale a $n^1$ e $1 + 2/3 = 5/3$, si ottiene:

Il calcolo esatto, che tiene conto della distribuzione di tutti gli elettroni fino all’impulso di Fermi, conferma questo risultato e precisa soltanto il fattore numerico:

Vediamo i singoli termini:

• $P_{\text{deg}}$ è la pressione di degenerazione, in pascal;
• $(3\pi^2)^{2/3}/5 \approx 1{,}91$ è il fattore numerico che il calcolo esatto aggiunge alla stima. Ha due origini. Il numeratore viene dal conteggio degli stati: l’impulso di Fermi, $p_F = \hbar\,(3\pi^2 n)^{1/3}$, è circa tre volte più grande della stima $\hbar\, n^{1/3}$ e nella pressione compare al quadrato. Il $5$ al denominatore nasce invece da due medie. Alla pressione su una superficie contribuisce solo il moto perpendicolare a essa, in media un terzo del totale, perché le direzioni dello spazio sono tre. Inoltre gli elettroni non hanno tutti l’impulso massimo $p_F$. Riempiono in modo uniforme tutta la sfera di Fermi e la loro energia è tanto maggiore quanto più sono vicini al bordo. Poiché gli strati esterni della sfera sono più ampi di quelli interni, la maggior parte degli elettroni ha una quantità di moto vicina a $p_F$: la media del quadrato della loro quantità di moto vale $\frac{3}{5}\,p_F^2$. Il prodotto $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}$ dà $\frac{1}{5}$;
• $\hbar$ è la costante di Planck ridotta: la sua presenza rivela che l’effetto è di natura quantistica e scomparirebbe in un mondo classico, dove $\hbar$ fosse zero;
• $m_e$ è la massa dell’elettrone ($9{,}109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$). Sta al denominatore, quindi a parità di densità le particelle più leggere esercitano una pressione maggiore;
• $n$ è la densità numerica degli elettroni, in elettroni per metro cubo. L’esponente $5/3$ dice che la pressione cresce più in fretta della densità: raddoppiando $n$, la pressione aumenta di $2^{5/3} \approx 3{,}2$ volte;
• la temperatura non compare da nessuna parte, perché la pressione di degenerazione, come accennato più sopra, esiste in modo indipendente dall’eventuale presenza di calore.

Fin qui abbiamo espresso la pressione di degenerazione in funzione della densità numerica $n$, cioè del numero di elettroni per metro cubo. In astrofisica, però, è più comodo esprimerla in funzione della densità di massa $\rho$, in $\mathrm{kg/m^3}$. In un plasma completamente ionizzato, il numero di elettroni per unità di volume è legato alla densità dalla relazione:

Qui $m_u = 1{,}6605 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ è l’unità di massa atomica, circa la massa di un protone o di un neutrone. Il numero $\mu_e$, detto peso molecolare medio per elettrone¹⁴, indica quante unità di massa atomica ci sono, in media, per ogni elettrone libero. Si ottiene dividendo il numero di protoni e neutroni del nucleo per il numero di elettroni dell’atomo, che è uguale a quello dei protoni:

• idrogeno: 1 protone, 1 elettrone, quindi $\mu_e = 1/1 = 1$;
• elio: 2 protoni e 2 neutroni, 2 elettroni, quindi $\mu_e = 4/2 = 2$;
• carbonio: 6 protoni e 6 neutroni, 6 elettroni, quindi $\mu_e = 12/6 = 2$;
• ossigeno: 8 protoni e 8 neutroni, 8 elettroni, quindi $\mu_e = 16/8 = 2$.

Le nane bianche sono composte soprattutto di carbonio e ossigeno, quindi per loro si usa $\mu_e = 2$.

Perché la pressione di degenerazione delle nane bianche si attribuisce agli elettroni e non ai nuclei atomici, che pure sono composti da particelle (i protoni e i neutroni) che sono fermioni¹⁵ come gli elettroni? Le ragioni sono due.

La prima riguarda i nuclei stessi. Nel gas di una nana bianca un nucleo si muove come un’unica particella e il suo comportamento dipende dal numero di protoni e neutroni che contiene: se il numero è dispari il nucleo è un fermione, se è pari è un bosone e non obbedisce al principio di esclusione. I nuclei più abbondanti nelle nane bianche, il carbonio-12 e l’ossigeno-16, contengono rispettivamente $12$ e $16$ protoni e neutroni e sono quindi bosoni. In altre parole, un numero qualsiasi di nuclei può occupare lo stesso stato quantico: per loro le regole dell’anfiteatro non valgono.

La seconda ragione vale per tutti i fermioni, compresi protoni e neutroni: nell’equazione con cui si calcola la pressione di degenerazione, la massa delle particelle va al denominatore. Ciò significa che minore è la loro massa, maggiore è la pressione esercitata dal gas. Un protone ha una massa circa $1836$ volte maggiore di quella di un elettrone: a parità di densità numerica, la sua pressione di degenerazione sarebbe circa $1836$ volte più piccola. Gli elettroni diventano degeneri molto prima di qualunque altra particella e a reggere la stella sono loro.

Da dove viene l’energia#

Gli elettroni di un gas degenere si muovono velocissimi anche a temperature prossime allo zero assoluto. L’energia di questo moto non viene dal nulla: deve fornirla la forza che comprime il gas. Comprimere qualunque gas contro la sua pressione richiede un lavoro e, in assenza di scambi di calore, quel lavoro aumenta l’energia interna del gas. In un gas ordinario l’energia si trasforma in agitazione termica: è per questo che una pompa da bicicletta si scalda quando si gonfia una gomma. In un gas degenere succede la stessa cosa dal punto di vista del bilancio energetico, ma l’energia serve soprattutto a spingere gli elettroni verso stati di quantità di moto sempre più alta, come richiede il principio di Pauli.

In una stella, il lavoro di compressione lo compie la gravità. Mentre il nucleo si contrae, l’energia gravitazionale liberata dalla contrazione in parte riscalda il gas e viene irradiata nello spazio, in parte alimenta il moto degli elettroni degeneri. Questa seconda parte non si disperde come il calore: rimane immagazzinata negli elettroni ed è il serbatoio da cui nasce la pressione che ferma la contrazione.

Differenze tra gas ordinario e gas degenere#

In entrambi i tipi di gas la compressione aumenta l’energia cinetica delle particelle e in entrambi il loro moto produce pressione. La differenza sta nella natura di quell’energia.

In un gas ordinario, l’energia fornita dalla compressione rende più vivace e disordinata l’agitazione delle molecole, cioè diventa calore. Per questo la temperatura sale e la pompa da bicicletta si scalda. Quel calore può poi passare all’ambiente e, quando il gas si raffredda, la pressione cala.

In un gas degenere, invece, l’energia della compressione non diventa calore, per due ragioni:

• non aumenta il disordine del gas: gli elettroni restano sistemati negli stati di minore energia disponibili, senza lasciare posti vuoti, ma poiché la compressione riduce il numero di quegli stati, una parte degli elettroni deve occupare stati nuovi, di energia maggiore rispetto a quella raggiunta in precedenza;
• non può essere ceduta all’esterno: per perdere energia un elettrone dovrebbe scendere in uno stato più basso, ma quegli stati sono tutti occupati. Nella metafora dell’anfiteatro, gli spettatori delle file alte non possono avvicinarsi all’arena, perché nelle file sottostanti non c’è un solo posto libero.

Il risultato è un gas in cui gli elettroni si muovono a velocità altissime ed esercitano una pressione enorme, anche quando il gas è freddo. Per questo una nana bianca, raffreddandosi nel corso di miliardi di anni, non perde il suo sostegno contro la gravità: si esaurisce il moto termico, non quello imposto dal principio di Pauli.

Quando un gas è degenere#

Ogni gas reale ha sia una componente termica sia una componente quantistica nel moto delle sue particelle. Per stabilire quale delle due domina basta confrontare l’energia termica tipica, $kT$, con l’energia di Fermi $E_F$. La temperatura di Fermi:

è la temperatura alla quale l’energia termica eguaglierebbe l’energia di Fermi $E_F$, che dipende dalla densità del gas e cresce come $n^{2/3}$. Pertanto anche la temperatura di Fermi, che differisce dall’energia di Fermi solo per la costante $k$, scala con $n^{2/3}$. La temperatura di Fermi non è la temperatura del gas e nessun termometro potrebbe misurarla: esprime in kelvin l’energia del moto imposto dal principio di Pauli, che, come abbiamo visto, non può essere ceduta come calore. La temperatura del gas è soltanto $T$, quella del moto termico. Si possono così distinguere due casi:

• se $T \gg T_F$, il moto termico prevale, gli stati disponibili sono in gran parte vuoti e il gas si comporta come un gas ordinario;
• se $T \ll T_F$, quasi tutti gli stati sotto l’energia di Fermi sono occupati, il moto quantistico prevale e il gas è degenere.

Tornando alla metafora dell’anfiteatro, in un gas degenere l’agitazione termica residua sposta solo qualche spettatore dalle ultime file al completo a quelle appena sopra, dove restano posti vuoti, mentre gli spettatori delle file più in basso rimangono tutti al loro posto. In altre parole, solo gli elettroni con energia vicina a quella di Fermi possono scambiare calore: quelli che occupano gli stati più bassi non possono, perché gli stati appena sopra di loro sono già tutti occupati e l’agitazione termica disponibile è troppo debole per farli saltare verso stati liberi di energia più alta.

Un gas può diventare degenere in due modi: raffreddandosi o comprimendosi. Nelle stelle succede soprattutto per compressione. Al centro di una nana bianca la temperatura può arrivare a milioni o decine di milioni di kelvin. È una temperatura reale, la stessa per gli elettroni e per i nuclei, che si scambiano energia di continuo. La temperatura di Fermi degli elettroni, però, è molto più alta, dell’ordine dei miliardi di kelvin: l’energia del moto termico è soltanto una piccola frazione di quella imposta dal principio di Pauli. Per questo, nonostante i milioni di kelvin all’interno della stella, il gas degenere di elettroni si comporta quasi come se fosse allo zero assoluto: quasi tutti gli stati sotto l’energia di Fermi sono occupati e la sua pressione è praticamente quella che avrebbe a temperatura zero.

In una nana bianca gli elettroni degeneri possono immagazzinare pochissimo calore, e solo quelli vicini al bordo della sfera di Fermi. Quasi tutto il calore residuo della stella si trova nei nuclei atomici, che non sono degeneri: sono loro a cedere lentamente quel calore, portando al progressivo raffreddamento della nana bianca.

Un esempio di gas degenere si trova anche qui sulla Terra: gli elettroni liberi dei metalli. In un metallo come il rame, ogni atomo mette in comune con il resto del cristallo¹⁶ il suo elettrone più esterno, che non appartiene più a nessun atomo in particolare e si muove liberamente in tutto il metallo. Gli elettroni liberi sono quindi tanti quanti gli atomi, circa $8{,}5 \times 10^{28}$ per metro cubo, più di tremila volte la densità delle molecole dell’aria. Non c’è bisogno di comprimerli: in un solido gli atomi sono già a contatto. Inoltre gli elettroni sono leggerissimi e la loro massa compare al denominatore dell’energia di Fermi. Applicando a quella densità le formule viste sopra, si ottiene una temperatura di Fermi di circa $80\,000\ \mathrm{K}$, con una temperatura ambiente che è meno dello $0{,}4\%$.

Valori simili, da meno di $20\,000$ a oltre $100\,000\,\text{K}$, valgono per tutti i metalli. Gli elettroni del rame sono quindi fortemente degeneri ed è la ragione per cui contribuiscono così poco al calore specifico¹⁷ del metallo: solo i pochi elettroni vicini al bordo della sfera di Fermi possono assorbire o cedere calore. È anche il motivo per cui un filo di rame, toccato con la mano, è a temperatura ambiente: dell’energia di Fermi dei suoi elettroni non si avverte nulla. Al tatto, anzi, sembra più freddo di un pezzo di legno: sono gli elettroni vicini al bordo della sfera di Fermi, che, liberi di muoversi, trasportano molto in fretta il calore della mano verso l’interno del metallo.

La pressione di degenerazione degli elettroni di un metallo è enorme: nel rame è di circa $4 \times 10^{10}\ \mathrm{Pa}$, quasi $400\,000$ volte la pressione atmosferica. Il metallo non esplode solo perché gli elettroni sono trattenuti dall’attrazione elettrica degli ioni positivi, cioè degli atomi privati del loro elettrone, che bilancia quella pressione: nel metallo è la forza elettromagnetica a fare ciò che in una nana bianca fa la gravità.

Il regime relativistico e la massa di Chandrasekhar#

Le formule viste in precedenza valgono finché gli elettroni si muovono molto più lentamente della luce. Ma l’impulso di Fermi cresce con la densità e a un certo punto gli elettroni degli stati più alti raggiungono velocità prossime a $c$, la velocità della luce. Per capire quando accade, conviene confrontare l’impulso di Fermi con il prodotto $m_e c$, la massa dell’elettrone moltiplicata per la velocità della luce. Le due grandezze sono della stessa specie: $\hbar$ si misura in $\mathrm{J\,s}$, cioè in $\mathrm{kg\,m^2/s}$, e $n^{1/3}$ in $\mathrm{m^{-1}}$, quindi $p_F = \hbar\,(3\pi^2 n)^{1/3}$ si misura in $\mathrm{kg\,m/s}$, come una massa per una velocità.

Il prodotto $m_e c$ non è la quantità di moto di un elettrone reale, ma un termine di confronto: è la quantità di moto che, secondo la formula classica $p = mv$, avrebbe un elettrone lanciato alla velocità della luce. Se $p_F$ è molto più piccolo di $m_e c$, la formula classica assegna agli elettroni più veloci velocità molto inferiori a $c$ e la fisica classica basta. Se $p_F$ si avvicina a $m_e c$, la formula classica $v = p/m_e$ darebbe velocità pari a quella della luce e, per quantità di moto maggiori di $m_e c$, addirittura superiori, cosa impossibile. In realtà questa formula perde precisione già prima, quando le velocità si avvicinano a quella della luce: serve allora la relatività ristretta, secondo la quale un elettrone con quantità di moto pari a $m_e c$ si muove a $c/\sqrt{2}$, cioè a circa il $71\%$ di $c$. Il passaggio tra i due regimi si misura con il rapporto

un numero puro che, quando si avvicina a $1$, segnala che gli elettroni stanno diventando relativistici. Ponendo $p_F=m_e c$, si ricava la densità numerica di confine. Sostituiamo a $p_F$ la sua espressione, $\hbar\,(3\pi^2 n)^{1/3}$, e otteniamo:

Ora dividiamo entrambi i membri per $\hbar$:

Poi eleviamoli al cubo per eliminare la radice cubica:

Infine, dividiamo entrambi i membri per $3\pi^2$:

Sostituendo i valori numerici, il rapporto tra parentesi vale:

Da cui si ricava:

Il confine corrisponde quindi a circa $590$ milioni di miliardi di miliardi di miliardi di elettroni per metro cubo.

Per passare dal numero di elettroni alla densità di massa si usa la relazione vista sopra, $n = \rho/(\mu_e m_u)$, rovesciata: $\rho = \mu_e m_u n$. In una nana bianca di carbonio e ossigeno, con $\mu_e = 2$, ogni elettrone corrisponde a due unità di massa atomica, quindi:

cioè due tonnellate per centimetro cubo. Oltre questa densità, in una nana bianca di carbonio e ossigeno gli elettroni degeneri diventano relativistici. È interessante aggiungere che, di queste due tonnellate, gli elettroni – ciascuno dei quali ha una massa di circa $1/1836$ di quella di un protone – rappresentano soltanto mezzo chilogrammo circa: tutto il resto sono nuclei atomici. Eppure è quel mezzo chilo di elettroni per centimetro cubo che, con la sua pressione di degenerazione, impedisce alla nana bianca di collassare sotto la propria gravità.

Quando gli elettroni diventano relativistici, la loro velocità si avvicina a $c$ senza mai raggiungerla: la quantità di moto continua a crescere con la densità, ma la velocità aumenta sempre meno¹⁸. Quando la quantità di moto supera di molto $m_e c$, cioè quando $x$ è molto maggiore di $1$, la velocità degli elettroni è così vicina a $c$ che la differenza diventa trascurabile: si parla allora di elettroni ultrarelativistici. Nella zona intermedia, con $x$ vicino a $1$, nessuna delle due formule semplici è esatta e serve la formula generale di Chandrasekhar, che più avanti applicheremo all’esempio di Sirio B. Nel caso ultrarelativistico, nel prodotto $n \cdot p \cdot v$ della stima fatta più sopra si può sostituire la velocità $v$ con $c$, che ne è un’ottima approssimazione:

Il calcolo esatto segue la stessa strada del caso non relativistico. La pressione è un terzo del prodotto tra la densità $n$ e il valore medio di $p \cdot v$ sugli elettroni: il fattore $\frac{1}{3}$ viene, come prima, dalle tre direzioni dello spazio. Per elettroni ultrarelativistici $v \approx c$, quindi basta conoscere la quantità di moto media, cioè il valore che si otterrebbe sommando le quantità di moto di tutti gli elettroni e dividendo per il loro numero. Poiché la sfera di Fermi è riempita in modo uniforme e gli strati esterni contengono più elettroni, la media è spostata verso il bordo e vale $\frac{3}{4}\,p_F$¹⁹. Si ottiene pertanto:

Sostituendo l’impulso di Fermi, $p_F = \hbar\,(3\pi^2 n)^{1/3}$, la densità compare due volte, una volta da sola e una dentro $p_F$. Se si moltiplicano due potenze, i loro esponenti si sommano: $n \cdot n^{1/3} = n^{1+1/3} = n^{4/3}$. Il risultato è:

In questa formula la massa dell’elettrone è scomparsa, perché la velocità degli elettroni, che nel caso non relativistico era $v = p/m_e$, è stata sostituita dalla velocità della luce $c$. Soprattutto, l’esponente della densità è sceso da $5/3$ a $4/3$: il gas è diventato più “morbido”. Comprimendolo, la pressione continua a crescere, ma più lentamente di prima.

Questa differenza tra i due esponenti decide il destino delle nane bianche. Per reggere la stella, la pressione al centro deve bilanciare il peso degli strati sovrastanti. Una stima basata sull’equilibrio idrostatico mostra che la pressione necessaria è dell’ordine di $G M^2/R^4$, dove $G$ è la costante di gravitazione universale, $M$ la massa e $R$ il raggio della stella²⁰.

Conviene ora esprimere il raggio attraverso la densità media. La densità $\rho$ (la lettera greca rho) è la massa divisa per il volume: $\rho = M/V$. Quindi, $V = M/\rho$. Il volume di una sfera è $\frac{4}{3}\pi R^3$, ma in una stima di ordine di grandezza il moltiplicatore $\frac{4}{3}\pi$ si può trascurare e scrivere semplicemente $V \approx R^3$. Uguagliando le due espressioni del volume si ottiene $R^3 \approx M/\rho$ e, estraendo la radice cubica:

Sostituendo questa espressione in $G M^2/R^4$, al denominatore compare $R^4 \approx (M/\rho)^{4/3}$. Le potenze della massa si semplificano, $M^2/M^{4/3} = M^{2/3}$, mentre la densità passa al numeratore. La pressione richiesta diventa così:

Confrontiamo questa pressione con quella che gli elettroni degeneri sono in grado di fornire. Il confronto porta a due risultati diversi a seconda del regime:

• elettroni non relativistici. La pressione di degenerazione cresce come $\rho^{5/3}$, più in fretta della pressione richiesta dalla gravità, che cresce come $\rho^{4/3}$. Per quanto sia grande la massa, contraendosi la stella arriva prima o poi a una densità alla quale la pressione degli elettroni basta a sostenerla. Ne segue una proprietà controintuitiva: più una nana bianca è massiccia, più è piccola. Il raggio diminuisce proporzionalmente a $M^{-1/3}$, per le ragioni spiegate nell’appendice;
• elettroni ultrarelativistici. Le due pressioni crescono con la stessa potenza della densità, $\rho^{4/3}$, quindi la contrazione non modifica più il rapporto tra le due. Se la massa è troppo grande, la gravità prevale a qualunque densità e nessuna contrazione può ristabilire l’equilibrio. Esiste quindi una massa massima, al di sopra della quale una stella non può essere sostenuta dalla pressione di degenerazione degli elettroni.

Uguagliando le due pressioni nel caso relativistico, la densità si semplifica e resta un’espressione che contiene solo costanti fondamentali. I passaggi sono i seguenti. La pressione degli elettroni ultrarelativistici, nella stima $P \approx \hbar c\, n^{4/3}$, va prima espressa in funzione della densità di massa, usando la relazione $n = \rho/(\mu_e m_u)$:

Uguagliandola alla pressione richiesta dalla gravità, $G\, M^{2/3} \rho^{4/3}$, il termine $\rho^{4/3}$ compare da entrambe le parti e si semplifica:

Dividendo per $G$ si isola $M^{2/3}$:

Infine, elevando entrambi i membri alla potenza $3/2$, l’esponente della massa diventa $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ e quello di $\mu_e m_u$ diventa $\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = 2$. Il risultato è la massa massima che la pressione di degenerazione degli elettroni può sostenere, chiamata massa di Chandrasekhar e indicata con $M_{\text{Ch}}$, dove il pedice è l’abbreviazione del nome dello scienziato che la calcolò nel 1931²¹:

Il calcolo rigoroso richiede di risolvere l’equazione dell’equilibrio idrostatico punto per punto all’interno della stella e moltiplica questa stima per un fattore di circa $3{,}1$. Includendo tale fattore e usando i valori odierni delle costanti fisiche, il risultato è:

Per una nana bianca di carbonio e ossigeno, con $\mu_e = 2$, si ottengono circa $1{,}46$ masse solari. Il valore di $1{,}44$ masse solari, che si trova spesso nei testi, corrisponde al coefficiente $5{,}76$ calcolato da Chandrasekhar. La piccola differenza dipende dai valori delle costanti e dalla scelta di usare, al posto dell’unità di massa atomica, la massa dell’atomo di idrogeno. Nelle stelle reali il limite effettivo è un po’ più basso, perché intervengono effetti trascurati nel modello semplificato: le interazioni elettriche tra elettroni e nuclei, la cattura di elettroni da parte dei nuclei e le correzioni della relatività generale.

La massa di Chandrasekhar segna uno dei bivi più importanti dell’evoluzione stellare. Secondo uno degli scenari proposti dalla ricerca in astrofisica, una nana bianca di carbonio e ossigeno che sottrae gas a una stella compagna aumenta la sua massa e si avvicina al limite contraendosi. La densità e la temperatura al centro crescono, finché, intorno a $1{,}38$ masse solari, prima che il limite venga raggiunto, si innesca la fusione del carbonio.

In un gas ordinario, il calore delle reazioni nucleari fa espandere e raffreddare la stella, che così rallenta le reazioni e resta in equilibrio. In un gas degenere, invece, quel calore non fa espandere la stella, perché la pressione dipende pochissimo dalla temperatura. Ne consegue che la fusione accelera senza freni e la temperatura sale fino a miliardi di kelvin. A quel punto le reazioni sono così rapide da trasformare in pochi secondi gran parte del carbonio e dell’ossigeno in elementi più pesanti: silicio, zolfo e calcio negli strati intermedi e, al centro, soprattutto nichel radioattivo, che nei mesi successivi decade in ferro. L’energia liberata da tali reazioni supera di alcune volte quella che tiene unita la stella: la materia acquista abbastanza velocità per sfuggire alla propria gravità e la nana bianca si disintegra, esplodendo come supernova²² di tipo Ia.

Tuttavia, non tutte le nane bianche che accumulano gas seguono questo destino, come spiegato nell’appendice. Invece, il nucleo di ferro di una stella massiccia che supera il limite non può essere sostenuto dagli elettroni degeneri e collassa.

Va precisato che il limite di Chandrasekhar vale per una nana bianca che non ruota e non ha un campo magnetico intenso. Una rotazione rapida o un campo magnetico molto forte forniscono un sostegno aggiuntivo e possono, in linea di principio, spostare il limite verso l’alto. Nel 2026 un gruppo guidato da Zenia Zuraiq ha simulato l’evoluzione di una nana bianca di $1{,}02$ masse solari che accumula materia da una stella compagna. Il campo magnetico interno, intensificato dalla compressione fino a circa $10^{14}$ gauss²³ al centro, le permette di restare stabile fino a $2{,}4$ masse solari. Nane bianche di questo tipo potrebbero spiegare alcune supernove di tipo Ia insolitamente luminose, ma per ora restano un’ipotesi teorica: nessuna è stata osservata direttamente.

La degenerazione dei neutroni#

Si è accennato più sopra al fatto che il nucleo di ferro di una stella massiccia, quando supera il limite di Chandrasekhar, non può più essere sostenuto dagli elettroni degeneri e collassa. Durante il collasso, la densità continua ad aumentare e l’energia degli elettroni più veloci, compresa la loro energia di massa²⁴, cresce fino a superare la differenza di energia di massa tra un neutrone e un protone, circa $1{,}3\ \mathrm{MeV}$²⁵, cioè $2{,}1 \times 10^{-13}\ \mathrm{J}$. A quel punto, per le ragioni spiegate nell’appendice, diventa vantaggioso per gli elettroni fondersi con i protoni, trasformandoli in neutroni ed emettendo neutrini²⁶. Gli elettroni, che sostenevano la stella, scompaiono progressivamente e il collasso accelera. Si arresta soltanto quando i neutroni sono così fitti da raggiungere densità paragonabili a quelle dei nuclei atomici, circa $2{,}7 \times 10^{17}\ \mathrm{kg/m^3}$. Nasce così una stella di neutroni²⁷.

Anche i neutroni sono fermioni e obbediscono al principio di esclusione. Le formule viste per gli elettroni valgono anche per loro, con la massa del neutrone, circa $1839$ volte quella dell’elettrone, al posto di $m_e$. A parità di densità numerica la loro pressione di degenerazione sarebbe molto più piccola, ma alle densità di una stella di neutroni diventa enorme.

C’è però una differenza essenziale rispetto alle nane bianche. Nel 1939 Robert Oppenheimer e George Volkoff calcolarono la massa massima di una stella sostenuta dalla sola pressione di degenerazione di un gas perfetto di neutroni, tenendo conto della relatività generale. Ottennero circa $0{,}7$ masse solari. Oggi si conoscono stelle di neutroni molto più massicce: la pulsar²⁸ PSR J0740+6620, per esempio, ha una massa di circa $2{,}08$ masse solari. La differenza si spiega con le forze nucleari. A densità superiori a quella dei nuclei atomici, l’interazione forte²⁹ tra i neutroni diventa altamente repulsiva e fornisce una pressione aggiuntiva che si somma a quella di degenerazione. La degenerazione dei neutroni resta un ingrediente fondamentale, ma da sola non basta a spiegare le stelle di neutroni reali. Quanto pesino esattamente le forze nucleari dipende dall’equazione di stato³⁰ del gas di neutroni a densità nucleari, che è ancora uno dei grandi problemi aperti dell’astrofisica.

Esempi numerici#

Negli esempi usiamo i seguenti valori, arrotondati, delle costanti:

• costante di Planck ridotta: $\hbar = 1{,}055 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$;
• massa dell’elettrone: $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$;
• unità di massa atomica: $m_u = 1{,}6605 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$;
• costante di Boltzmann: $k = 1{,}38 \times 10^{-23}\ \mathrm{J/K}$;
• velocità della luce: $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$;
• costante di gravitazione: $G = 6{,}674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$;
• massa del Sole: $M_\odot = 1{,}989 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$;
• raggio del Sole: $R_\odot = 6{,}96 \times 10^{8}\ \mathrm{m}$.

Il centro del Sole non è degenere#

Secondo il modello solare standard, al centro del Sole la densità è di circa $1{,}53 \times 10^{5}\ \mathrm{kg/m^3}$ e la temperatura di circa $1{,}56 \times 10^{7}\ \mathrm{K}$. In quella regione l’idrogeno è già stato in parte trasformato in elio e la frazione in massa dell’idrogeno è scesa a circa $0{,}35$. Il resto della massa è quasi tutto elio, con una piccola parte di elementi più pesanti.

Per calcolare $\mu_e$ in questa miscela si contano gli elettroni contenuti in un chilogrammo di gas, che al centro del Sole è completamente ionizzato, cioè è plasma. Come abbiamo visto, l’idrogeno fornisce un elettrone per ogni unità di massa atomica, mentre l’elio e gli elementi più pesanti ne forniscono circa uno ogni due. In un chilogrammo di plasma l’idrogeno pesa $0{,}35\ \mathrm{kg}$ e fornisce $0{,}35/m_u$ elettroni, il resto pesa $0{,}65\ \mathrm{kg}$ e, con un elettrone ogni due unità di massa atomica, ne fornisce $0{,}65/(2m_u) = 0{,}325/m_u$. Il numero totale di elettroni per chilogrammo è quindi:

In altre parole, ogni unità di massa atomica contiene in media $0{,}675$ elettroni. Le unità di massa atomica per ogni elettrone sono dunque:

Il risultato è compreso tra $1$, il valore dell’idrogeno puro, e $2$, quello dell’elio. La densità numerica degli elettroni è quindi:

Il calcolo ci dice che un metro cubo di materia al centro del Sole contiene circa $62\,000$ miliardi di miliardi di miliardi di elettroni. Si tratta più o meno di due milioni e mezzo di volte la densità numerica delle molecole dell’aria che respiriamo. L’impulso di Fermi corrispondente è:

Sostituendo i valori numerici otteniamo:

Per sapere se gli elettroni sono relativistici, confrontiamo questo valore con il prodotto della massa dell’elettrone per la velocità della luce:

Il rapporto tra i due è:

L’impulso di Fermi è dunque meno del $5\%$ di $m_e c$. Ne consegue che gli elettroni al centro del Sole non sono relativistici. A conferma di quanto detto, possiamo calcolare la velocità che avrebbero gli elettroni con l’impulso di Fermi al centro del Sole. La velocità è uguale alla quantità di moto $p$ diviso la massa $m$. Nel nostro caso la quantità di moto è l’impulso di Fermi $p_F$ e la massa è quella dell’elettrone $m_e$:

Otteniamo circa $14\,000$ chilometri al secondo, poco meno del $5\%$ della velocità della luce, in accordo con il calcolo eseguito in precedenza.

Calcoliamo ora l’energia di Fermi, cioè l’energia cinetica che il solo principio di esclusione imporrebbe agli elettroni più veloci a questa densità, e la temperatura di Fermi, che esprime la stessa energia in kelvin e permette di confrontarla con la temperatura reale del centro del Sole:

La temperatura reale, $1{,}56 \times 10^{7}\ \mathrm{K}$, è circa $2{,}4$ volte più alta della temperatura di Fermi. Gli elettroni sono abbastanza fitti perché il principio di esclusione cominci a farsi sentire: gli stati di energia più bassa sono già in buona parte occupati e alcuni elettroni hanno più energia di quanta ne avrebbero in un gas ordinario. L’agitazione termica, però, come si ricava dalla temperatura, è molto più intensa: la pressione degli elettroni supera solo di poco quella di un gas ordinario e il Sole è sostenuto dalla pressione termica. I modelli solari che tengono conto della degenerazione parziale, come quelli che Yıldız e Kızıloğlu costruirono nel 1997, indicano che al centro del Sole il contributo degli elettroni degeneri è di circa il $2\%$ della pressione totale, mentre il resto è quasi tutto pressione termica. La situazione cambierà quando, fra qualche miliardo di anni, il nucleo di elio del Sole si contrarrà: la densità aumenterà enormemente e la temperatura di Fermi, che scala con la densità elevata a $2/3$, crescerà più in fretta della temperatura reale fino a superarla. La degenerazione degli elettroni diventerà allora dominante.

Gli elettroni di Sirio B#

Sirio B, la compagna di Sirio, è la nana bianca più vicina al Sole e una delle meglio studiate. Ha una massa di $1{,}018$ masse solari, pari a $2{,}02 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$, e un raggio di circa $0{,}0080$ raggi solari, cioè circa $5\,570\ \mathrm{km}$, meno del raggio della Terra. La sua densità media è

cioè circa $2{,}8$ miliardi di chilogrammi (quasi tre milioni di tonnellate) per metro cubo. Con $\mu_e = 2$ la densità numerica degli elettroni è

cioè $840$ milioni di miliardi di miliardi di miliardi di elettroni per metro cubo: circa $13\,500$ volte la densità di elettroni al centro del Sole. L’impulso di Fermi vale:

e il rapporto con $m_e c$ è

Già alla densità media, quindi, gli elettroni più energetici di Sirio B si muovono a velocità relativistiche, e ancor più al centro, dove la densità è maggiore. Proviamo ad applicare le due formule semplici ricavate più sopra. Per elettroni non relativistici la pressione di degenerazione è:

mentre per elettroni ultrarelativistici è:

Entrambe contengono una potenza della densità numerica degli elettroni, che per Sirio B vale $n = 8{,}4 \times 10^{35}\ \mathrm{m^{-3}}$. Conviene calcolare prima la radice cubica, $n^{1/3} \approx 9{,}4 \times 10^{11}\ \mathrm{m^{-1}}$, da cui si ottengono $n^{5/3} = (n^{1/3})^5 \approx 7{,}5 \times 10^{59}\ \mathrm{m^{-5}}$ e $n^{4/3} = n \cdot n^{1/3} \approx 7{,}9 \times 10^{47}\ \mathrm{m^{-4}}$. Sostituendo i valori nella prima formula si ottiene:

e nella seconda:

Entrambe sovrastimano la pressione, perché nessuna delle due è applicabile per un valore a metà strada tra i due regimi. La formula generale, valida per qualunque valore di $p_F/m_e c$³¹, dà $P_{\text{deg}} \approx 1{,}3 \times 10^{22}\ \mathrm{Pa}$: oltre cento milioni di miliardi di volte la pressione atmosferica terrestre e circa $36$ miliardi di volte la pressione al centro della Terra. È questa, in media, la pressione con cui gli elettroni degeneri sostengono Sirio B contro la sua stessa gravità.

Per calcolare la temperatura di Fermi corrispondente non si può usare la formula $E_F = p_F^2/2m_e$, valida solo per elettroni non relativistici. In relatività l’energia totale di un elettrone è legata alla sua quantità di moto dalla relazione $E = \sqrt{(pc)^2 + (m_e c^2)^2}$, e l’energia cinetica si ottiene sottraendo l’energia di massa $m_e c^2$. Con $p_F c \approx 3{,}1 \times 10^{-22} \times 3{,}00 \times 10^{8} \approx 9{,}3 \times 10^{-14}\ \mathrm{J}$ e $m_e c^2 \approx 9{,}11 \times 10^{-31} \times (3{,}00 \times 10^{8})^2 \approx 8{,}2 \times 10^{-14}\ \mathrm{J}$, l’energia di Fermi vale:

e la temperatura di Fermi:

cioè circa tre miliardi di kelvin. La temperatura interna di Sirio B è molto più bassa: secondo i modelli di raffreddamento delle nane bianche che Bédard et al. calcolarono nel 2020, una nana bianca di carbonio e ossigeno con la sua massa e la sua temperatura superficiale ha una temperatura interna di circa $2{,}3 \times 10^{7}\ \mathrm{K}$, circa $130$ volte inferiore alla temperatura di Fermi.

Il carbonio cede 6 elettroni e l’ossigeno 8, quindi in una miscela dei due c’è in media un nucleo ogni sette elettroni circa. La densità numerica dei nuclei, che indichiamo con $n_N$, è perciò più o meno $n/7 \approx 1{,}2 \times 10^{35}\ \mathrm{m^{-3}}$. Nella pressione di un gas ordinario ogni particella libera conta allo stesso modo, qualunque sia la sua massa: un nucleo contiene molti protoni e neutroni, ma si muove come un’unica particella e conta come una sola. La pressione termica di elettroni e nuclei vale quindi:

poco più del $2\%$ della pressione di degenerazione. Sirio B si regge quasi interamente sulla degenerazione dei suoi elettroni.

La massa di Chandrasekhar#

Calcoliamo la stima approssimata della massa massima che una nana bianca può avere restando sostenuta dalla pressione di degenerazione degli elettroni. Consideriamo una nana bianca di carbonio e ossigeno, per la quale $\mu_e = 2$. La stima, ricavata nella sezione sul regime relativistico, è:

Il rapporto tra le costanti vale:

Dividiamo ora il risultato per $(\mu_e m_u)^2 = (2 \times 1{,}6605 \times 10^{-27})^2 \approx 1{,}10 \times 10^{-53}\ \mathrm{kg^2}$ e otteniamo:

La stima sbaglia il valore esatto di un fattore $3{,}1$, ma coglie l’ordine di grandezza. È un risultato notevole: combinando la costante di Planck, la velocità della luce, la costante di gravitazione e l’unità di massa atomica si ottiene una massa paragonabile a quella del Sole. Moltiplicando per il fattore numerico esatto, si arriva alle $1{,}46$ masse solari del limite di Chandrasekhar. Sirio B, con le sue $1{,}02$ masse solari, è al di sotto del limite, ma ha già una massa abbastanza grande da rendere i suoi elettroni relativistici.

Appendici#

Perché le nane bianche più massicce sono più piccole#

Nel regime non relativistico le due pressioni in gioco crescono con la densità in modo diverso. La pressione che la gravità richiede al centro della stella è, come abbiamo visto, $P_{\text{grav}} \approx G\, M^{2/3} \rho^{4/3}$, mentre la pressione di degenerazione degli elettroni cresce come $\rho^{5/3}$.

A bassa densità prevale la gravità e la stella si contrae. Contraendosi, la densità aumenta e, a un certo punto, la pressione di degenerazione, che ha l’esponente più alto, pareggia la pressione esercitata dalla gravità e la contrazione si arresta.

La pressione gravitazionale, però, non dipende solo dalla densità: dipende anche dalla massa, elevata a $2/3$. A parità di densità, una stella più massiccia ha una gravità maggiore e, per contrastarla, gli elettroni devono raggiungere una densità più alta. Uguagliando le due pressioni si trova di quanto deve crescere la densità (il simbolo $\propto$ significa “è proporzionale a”):

Dividendo entrambi i membri per $\rho^{4/3}$ resta $\rho^{1/3} \propto M^{2/3}$ ed elevando al cubo si ottiene:

La densità di equilibrio cresce quindi come il quadrato della massa. Il volume della stella è la massa divisa per la densità:

La relazione implica che, se la massa cresce, il volume diminuisce. Infine, dato che il volume è proporzionale a $1/M$, il raggio, che è la radice cubica del volume, è proporzionale a $1/M^{1/3}$. Scrivendo la frazione come potenza con esponente negativo, otteniamo:

Un esempio numerico renderà meglio l’idea. Se la massa di una nana bianca raddoppia, la densità di equilibrio quadruplica e il volume si dimezza: il doppio della massa sta in metà dello spazio. Il raggio si riduce di un fattore $2^{-1/3} \approx 0{,}79$, cioè di circa il $21\%$. I conti tornano, perché $0{,}79^3 \approx 0{,}5$.

In una stella ordinaria aggiungere massa significa aggiungere volume. In una nana bianca la massa in più comprime la stella al punto che il volume diminuisce.

Questo risultato vale finché gli elettroni non sono relativistici. Nelle nane bianche più massicce gli elettroni più veloci si avvicinano alla velocità della luce e la pressione di degenerazione, come abbiamo visto, cresce con la densità sempre più lentamente, fino a scalare con $\rho^{4/3}$, cioè con lo stesso esponente della pressione richiesta dalla gravità. Per sostenere la stella serve allora una compressione sempre maggiore e il raggio diminuisce più in fretta di quanto preveda la legge $M^{-1/3}$. Nel modello di Chandrasekhar, quando la massa si avvicina al limite il raggio tende a zero e la stella non trova più una densità di equilibrio.

Il fenomeno delle novae#

Nella sezione sul regime relativistico e la massa di Chandrasekhar abbiamo visto che, secondo uno degli scenari proposti, le nane bianche di carbonio e ossigeno che accumulano materia strappata gravitazionalmente a una stella compagna, se superano una certa soglia di massa (circa $1{,}38$ masse solari), possono accendere la fusione del carbonio nel nucleo ed esplodere come supernove di tipo Ia³². Questo accade perché sono composte da un gas degenere, nel quale la pressione dipende pochissimo dalla temperatura: il calore della fusione non riesce a far espandere la stella e le reazioni accelerano senza freni.

Tuttavia, non tutte le nane bianche che accrescono materia da una compagna arrivano al limite di Chandrasekhar. Esiste infatti un altro meccanismo che consente a questi oggetti compatti di eliminare la materia in eccesso. Funziona così: il gas ricco di idrogeno strappato alla compagna si deposita in un sottile strato sulla superficie, che la gravità comprime fino a renderlo degenere. Il punto più compresso è la base dello strato, che regge il peso di tutto il gas accumulato sopra di essa: man mano che la nana bianca accumula materia, quella base diventa sempre più compressa e calda. Quando pressione e temperatura raggiungono un livello critico, che dipende dalla massa della nana bianca, alla base dello strato si innesca la fusione dell’idrogeno e, per la stessa ragione vista per il carbonio, la reazione diventa esplosiva, ma coinvolge soltanto quello strato: il gas viene espulso nello spazio, in quantità che vanno da qualche centomillesimo a qualche decimillesimo di massa solare. La nana bianca resta intatta. È il fenomeno delle novae, che nello stesso sistema stellare si ripetono a intervalli di alcuni decenni nelle novae ricorrenti e da mille a centomila anni circa nelle novae classiche.

In queste ultime, si ritiene in genere che la nana bianca perda più massa di quanta ne accumuli, mentre in alcune novae ricorrenti, come RS Ophiuchi, la massa potrebbe crescere: è una questione ancora aperta. Il destino della nana bianca dipende soprattutto dalla rapidità con cui riceve il gas. Se il gas arriva lentamente, l’idrogeno si accumula e brucia in modo esplosivo, producendo novae. Se arriva più in fretta, oltre una soglia dell’ordine di un decimilionesimo di massa solare all’anno, l’idrogeno brucia in modo stabile man mano che si deposita: la nana bianca trattiene l’elio prodotto dalla fusione e aumenta gradualmente la massa, che può così avvicinarsi al limite di Chandrasekhar. Le novae ricorrenti come RS Ophiuchi si trovano in una situazione intermedia. Ricevono il gas a un ritmo vicino alla soglia e ospitano nane bianche molto massicce, per cui le loro eruzioni sono deboli e frequenti: una parte del gas resta sulla stella.

Protoni ed elettroni che formano neutroni#

Nella sezione sulla degenerazione dei neutroni abbiamo visto che, nel nucleo di una stella massiccia che collassa, gli elettroni si combinano con i protoni e li trasformano in neutroni. Per capire perché succede bisogna partire dalla differenza di massa tra le due particelle.

Come abbiamo visto, il neutrone è un po’ più massiccio del protone e la sua energia di massa supera quella del protone di circa $1{,}3\ \mathrm{MeV}$, circa due volte e mezzo l’energia di massa di un elettrone. La differenza dipende dalla composizione delle due particelle: il protone contiene due quark up e un quark down, il neutrone un quark up e due quark down. Il quark down è più pesante dell’up e questo rende il neutrone più massiccio, mentre la carica elettrica del protone aggiunge alla sua massa un po’ di energia elettromagnetica e riduce lo scarto. Nel 2015 un gruppo guidato da Szabolcs Borsanyi calcolò i due contributi a partire dalle teorie fondamentali delle interazioni forte ed elettromagnetica, trovando che il primo prevale sul secondo.

Una particella può trasformarsi spontaneamente in altre soltanto se queste hanno, nel complesso, un’energia di massa minore della sua: la differenza diventa energia di moto delle particelle prodotte. È il caso appunto del neutrone, la cui energia di massa supera quella di un protone e di un elettrone messi insieme di circa $0{,}78\ \mathrm{MeV}$. Poiché questa trasformazione rispetta anche le altre leggi di conservazione, come quella della carica elettrica, un neutrone isolato è instabile: in circa un quarto d’ora, in media, decade in un protone, un elettrone e un antineutrino, liberando l’energia in eccesso.

Il processo inverso, cioè la combinazione di un protone e di un elettrone a formare un neutrone e un neutrino, non può avvenire spontaneamente, perché l’energia di massa del protone, insieme a quella dell’elettrone, è inferiore a quella del neutrone. Affinché la combinazione avvenga, l’elettrone deve fornire l’energia mancante. Gli elettroni di un gas ordinario non ne hanno abbastanza, ma in un gas degenere molto denso quelli più veloci la superano. Per il gas, la cattura degli elettroni da parte dei protoni è vantaggiosa perché sottrae proprio gli elettroni più energetici: l’energia complessiva diminuisce, anche se ogni neutrone costa $1{,}3\ \mathrm{MeV}$. I neutroni prodotti, inoltre, non possono più decadere, perché l’elettrone che emetterebbero non troverebbe posto: tutti gli stati che potrebbe occupare sono già pieni. È lo stesso principio di esclusione che genera la pressione di degenerazione a rendere stabili i neutroni.

Il valore di $1{,}3\ \mathrm{MeV}$ vale per i protoni liberi. Nel nucleo di una stella che collassa, però, la maggior parte dei protoni è legata in nuclei atomici come quelli del ferro. Per trasformare un protone in neutrone all’interno di un nucleo bisogna pagare anche la variazione dell’energia di legame: la soglia sale allora a qualche $\text{MeV}$. La cattura procede comunque, perché a quelle densità l’energia degli elettroni continua a crescere: i nuclei si arricchiscono via via di neutroni, finché, a densità ancora più alte, si dissolvono in un gas di neutroni.