Nana bianca

Etimologia#

L’espressione italiana nana bianca è un calco dell’inglese white dwarf, il cui uso astronomico nacque in due tempi. Nel 1913 Henry Norris Russell intitolò una sua relazione “Giant” and “dwarf” stars, “stelle giganti e stelle nane”, per distinguere le stelle molto luminose da quelle, assai più numerose, che a parità di colore brillano molto meno. Russell attribuì i due termini a Ejnar Hertzsprung, che in realtà aveva usato soltanto la parola tedesca Giganten. Le “nane” di Russell erano le stelle che oggi chiamiamo di sequenza principale, come il Sole¹.

L’aggettivo “bianca” arrivò nel 1922. Willem Luyten, un giovane astronomo olandese appena arrivato all’osservatorio Lick in California, segnalò in tre brevi note alcune stelle deboli che si spostavano rapidamente nel cielo e avevano il colore bianco delle stelle calde. Nella prima nota le chiamò “stelle bianche deboli”; nella terza, apparsa alla fine dell’anno, adottò l’espressione più concisa white dwarfs. Secondo lo storico Jay Holberg, nessuna delle stelle segnalate in quelle note era davvero una nana bianca. Il nome però piacque. Arthur Eddington lo usò liberamente in un celebre articolo del 1924 e fu soprattutto grazie a lui che entrò stabilmente nel linguaggio degli astronomi.

Tre stelle impossibili#

La compagna invisibile di Sirio#

La storia delle nane bianche cominciò prima che fosse coniato il nome, con una stella che nessuno aveva visto. Nel 1844 Friedrich Bessel, lo stesso astronomo che nel 1838 aveva misurato per primo la parallasse di una stella lontana (61 Cygni), annunciò che Sirio, la stella più brillante del cielo notturno, non si spostava sulla volta celeste in linea retta, ma ondeggiava leggermente con un periodo di circa cinquant’anni. Ne dedusse che doveva avere una compagna invisibile, abbastanza massiccia da farla oscillare attorno al comune centro di massa. La compagna, oggi chiamata Sirio B, fu vista per la prima volta il 31 gennaio 1862 da Alvan Graham Clark, figlio di un celebre costruttore di telescopi, mentre provava un nuovo obiettivo da $18{,}5$ pollici di diametro (circa $47\,\text{cm}$). Era un puntino debolissimo, quasi soffocato dalla luce di Sirio, eppure l’orbita mostrava che aveva una massa simile a quella del Sole.

Per mezzo secolo il fatto non sembrò particolarmente strano: si pensava che Sirio B fosse una stella fredda e poco luminosa. Il problema emerse quando si riuscì a osservarne lo spettro.

Una stella bianca che brilla troppo poco#

Il primo indizio venne da un’altra stella. Nel 1783 William Herschel aveva scoperto due deboli compagne della stella 40 Eridani. Nel 1910 Henry Norris Russell, che stava studiando la relazione fra la luminosità delle stelle e il loro tipo spettrale, chiese a Edward Pickering, direttore dell’osservatorio di Harvard, lo spettro della più brillante delle due, 40 Eridani B. Williamina Fleming, che a Harvard classificava gli spettri stellari, rispose nel giro di un’ora circa che era di tipo A². Era una risposta sconcertante. Le stelle di tipo A sono bianche e calde, quindi molto luminose; 40 Eridani B, invece, si trovava alla stessa distanza di 40 Eridani A ma era decine di migliaia di volte meno luminosa di quanto avrebbe dovuto essere una stella del suo colore. Per qualche anno Russell preferì dubitare della classificazione.

I dubbi caddero tra il 1914 e il 1915, quando Walter Adams, all’osservatorio di Mount Wilson, ottenne gli spettri di entrambe le stelle con il telescopio da $60$ pollici ($152{,}4\,\text{cm}$), allora il più grande del mondo. Lo spettro di 40 Eridani B era proprio di tipo A. E quello di Sirio B, ottenuto nell’ottobre del 1915 dopo due anni di tentativi, risultò praticamente identico a quello di Sirio A: una stella bianca e calda, con una massa pari a quella del Sole, ma con una luminosità intorno a un centesimo di quella solare. Nel 1917 Adriaan van Maanen scoprì una terza stella calda e poco luminosa, oggi chiamata van Maanen 2.

Il ragionamento che rendeva queste stelle “impossibili” è semplice. La luminosità di una stella dipende da due fattori: la temperatura della superficie e la sua area. Come stabilisce la legge di Stefan-Boltzmann, che vale per un corpo nero e approssimativamente per le stelle in generale, ogni metro quadrato di superficie emette una potenza proporzionale alla quarta potenza della temperatura³. Se una stella è calda come Sirio A ma emette diecimila volte meno luce, la sua superficie deve essere diecimila volte più piccola e il suo raggio circa cento volte minore. Una stella con la massa del Sole e le dimensioni di un pianeta doveva avere una densità media decine o centinaia di migliaia di volte maggiore di quella dell’acqua: un valore che nessuna materia conosciuta poteva raggiungere.

Il paradosso di Eddington#

Nel 1924 Arthur Eddington affrontò il problema in un paragrafo del suo lavoro sulla relazione fra la massa e la luminosità delle stelle, intitolato proprio White dwarfs. Se lo spettro di Sirio B indicava davvero una temperatura superficiale di circa $8\,000\,\text{K}$, calcolò Eddington, la stella doveva avere un raggio di appena $19\,600\,\text{km}$, tre quarti di quello di Urano, e una densità media di circa $53\,000$ volte quella dell’acqua. Secondo Eddington, una densità simile non era assurda: all’interno della stella gli atomi sono quasi completamente ionizzati⁴ e, privati degli elettroni, i nuclei possono avvicinarsi molto più di quanto permettano gli atomi interi, che sono in gran parte spazio vuoto. L’alternativa era che Sirio B fosse in realtà una stella molto fredda che, per qualche ragione, imitava lo spettro di una stella calda. Per decidere fra le due ipotesi, Eddington indicò una prova che altri avevano già suggerito: misurare lo spostamento delle righe dello spettro di Sirio B previsto dalla teoria della relatività generale.

Secondo la relatività generale, la luce che sfugge dal campo gravitazionale di un corpo perde energia e le righe del suo spettro si spostano verso lunghezze d’onda maggiori, cioè verso il rosso⁵. Lo spostamento cresce con il rapporto fra massa e raggio: vale per qualsiasi oggetto, ma diventa abbastanza grande da essere misurato con facilità soltanto in quelli molto compatti, in cui la massa è grande e il raggio è piccolo. Gli astronomi lo esprimono di solito come una velocità: quella con cui la sorgente dovrebbe allontanarsi da noi perché il suo moto, per effetto Doppler⁶, spostasse le righe della stessa quantità. Non è quindi una velocità reale della luce o della stella, ma un modo comodo di misurare lo spostamento.

Per il Sole equivale a una velocità di appena $0{,}6\,\text{km/s}$, un valore così piccolo che negli anni Venti del secolo scorso i tentativi di misurarlo erano rimasti inconcludenti, anche perché i moti del gas sulla superficie solare spostano le righe dello spettro di quantità paragonabili. In una stella con la massa del Sole e un raggio cento volte minore lo spostamento delle righe diventa cento volte più grande. Nel 1925 Adams misurò lo spostamento delle righe di Sirio B rispetto a quelle di Sirio A, espresso come differenza fra le velocità radiali delle due stelle. Corresse poi il risultato per il moto orbitale della compagna e per la luce di Sirio A, che si sovrapponeva al suo spettro, e trovò uno spostamento verso il rosso equivalente a una velocità di $21\,\text{km/s}$, in accordo con i circa $20\,\text{km/s}$ previsti da Eddington. Sembrò una doppia conferma: della relatività generale e della densità enorme delle nane bianche.

L’accordo, però, era in buona parte casuale. Già all’inizio degli anni Cinquanta alcuni ricercatori ritenevano la misura troppo incerta e il raggio di Sirio B che ne derivava probabilmente sbagliato, come riferì nel 1952 l’astrofisico britannico Leon Mestel. Nel 1971 Jesse Greenstein, John Oke e Harry Shipman ripeterono la misura e ottennero $89 \pm 16\,\text{km/s}$, oltre quattro volte il valore di Adams. Le misure del 1925 erano probabilmente contaminate dalla luce di Sirio A, migliaia di volte più brillante, e la previsione di Eddington si basava su una temperatura di Sirio B troppo bassa, quindi su un raggio troppo grande. Nel 2018 Simon Joyce e colleghi, con il telescopio spaziale Hubble, hanno misurato $80{,}65 \pm 0{,}77\,\text{km/s}$, in pieno accordo con la massa e il raggio di Sirio B noti per altre vie, come mostra l’esempio numerico alla fine di questa voce.

Restava però un problema di principio, che Eddington descrisse con efficacia nel 1926, nel libro The Internal Constitution of the Stars. La materia di una nana bianca può restare così compressa solo finché è abbastanza calda da mantenersi ionizzata. Quando la stella si raffredda, gli elettroni dovrebbero ricombinarsi con i nuclei e la stella dovrebbe tornare a espandersi fino alla densità della materia ordinaria. Ma per espandersi dovrebbe compiere lavoro contro la propria gravità, cioè spendere un’energia che non ha più⁷. Una stella del genere, concluse Eddington, si sarebbe trovata nella strana condizione di continuare a perdere calore senza avere abbastanza energia per raffreddarsi. Il paradosso, del resto, ne nascondeva un altro: se nulla, oltre al calore, sosteneva la stella contro il proprio peso, una nana bianca che continuava a perdere energia senza potersi riespandere avrebbe dovuto contrarsi sempre di più sotto la spinta della gravità, indefinitamente.

Perché una nana bianca non collassa#

La soluzione del paradosso di Eddington arrivò già nel 1926, grazie alla meccanica quantistica appena nata. Ralph Fowler mostrò che gli elettroni di una nana bianca formano un gas degenere: sono compressi a tal punto che il principio di esclusione di Pauli li costringe a occupare stati di energia sempre più alti, anche quando la temperatura è bassa. Ne risulta una pressione enorme, che non dipende dalla temperatura ma soltanto dalla densità. La storia e la fisica di questa pressione sono descritte nella voce pressione di degenerazione; qui basta ricordarne tre conseguenze, che sono la chiave di tutte le proprietà delle nane bianche.

La prima risolve il paradosso. La pressione che regge la stella non dipende dal calore, quindi la nana bianca può raffreddarsi fino a diventare gelida senza espandersi e senza contrarsi: superati i primi milioni di anni, durante i quali si contraggono soprattutto gli strati esterni, il suo raggio resta praticamente immutato per tutta la sua lunghissima esistenza. Il calore che irradia viene quasi tutto dai nuclei atomici, che non sono degeneri e conservano l’energia termica accumulata nelle fasi precedenti della vita della stella.

La fisica quantistica fece cadere anche l’altra premessa del paradosso. Eddington pensava che la materia della stella, raffreddandosi, sarebbe tornata a formare atomi interi. Ma un elettrone legato a un nucleo occupa una regione di spazio di dimensioni ben precise attorno al nucleo stesso. All’interno di una nana bianca i nuclei atomici sono così fitti che la distanza fra l’uno e l’altro è più piccola perfino della regione occupata dagli elettroni più interni degli atomi di carbonio. Un elettrone non può quindi restare legato a un solo nucleo, perché si trova sempre altrettanto vicino ai nuclei confinanti. L’attrazione elettrica non scompare, ma si esercita da ogni parte: nessun nucleo riesce a trattenere l’elettrone per sé, e l’elettrone non appartiene più a nessuno di essi, ma all’insieme. Può così spostarsi attraverso tutta la materia della stella, come gli elettroni di conduzione di un metallo, che non sono legati a un singolo atomo ma restano trattenuti dal reticolo degli ioni nel suo complesso.

Lo impone anche il principio di indeterminazione: costringere un elettrone in uno spazio così piccolo aumenta la sua energia di moto oltre quella che basterebbe a tenerlo legato. È la ionizzazione per pressione: a mantenere ionizzata la materia è la compressione, non il calore. Secondo i modelli che Didier Saumon, Simon Blouin e Pier-Emmanuel Tremblay hanno presentato nel 2022 in un’ampia rassegna sulla fisica delle nane bianche, l’elio si ionizza così già a densità di qualche grammo per centimetro cubo e l’idrogeno a circa un grammo per centimetro cubo, valori raggiunti poco sotto la superficie. Per questo l’interno di una nana bianca resta completamente ionizzato anche quando la stella è ormai fredda, e gli elettroni tornano a legarsi ai nuclei soltanto negli strati più esterni, dove la densità è bassa.

La seconda conseguenza è una relazione controintuitiva fra massa e raggio: più una nana bianca è massiccia, più è piccola. Una nana bianca di $0{,}6$ masse solari ha un raggio simile a quello della Terra; Sirio B, che ha una massa di poco superiore a quella del Sole, è grande circa l’$88\%$ della Terra.

La terza è l’esistenza di una massa massima. Nel 1931 Subrahmanyan Chandrasekhar calcolò che, quando gli elettroni diventano relativistici, la pressione di degenerazione non può più sostenere una stella oltre una certa massa. Il valore oggi accettato per una nana bianca di carbonio e ossigeno è di circa $1{,}4$ masse solari: è il limite di Chandrasekhar. Una nana bianca che, sottraendo gas a una stella compagna, si avvicina a questo limite può esplodere come supernova di tipo Ia, oppure liberarsi periodicamente dell’eccesso di gas con le esplosioni superficiali chiamate novae.

Da dove vengono le nane bianche#

Una nana bianca è ciò che resta del nucleo di una stella di massa iniziale inferiore a circa $8$-$10$ masse solari, dopo che la stella ha attraversato la fase di gigante rossa e ha espulso gli strati esterni formando una nebulosa planetaria⁸. Poiché le stelle di piccola massa sono di gran lunga le più numerose, questo è il destino di circa il $97\%$ delle stelle della Via Lattea, Sole compreso.

La composizione del nucleo dipende da come si è conclusa la vita della stella:

• la grande maggioranza delle nane bianche ha un nucleo di carbonio e ossigeno, prodotti dalla fusione dell’elio nelle ultime fasi della vita della stella;
• le nane bianche più massicce, oltre circa $1{,}1$ masse solari, dovrebbero avere in molti casi un nucleo di ossigeno e neon, perché le loro progenitrici, vicine al limite superiore di massa, sono arrivate a fondere anche il carbonio. Secondo la rassegna di Saumon, Blouin e Tremblay, alcuni risultati recenti indicano però che esistono anche nane bianche ultramassicce con un nucleo di carbonio e ossigeno: fra questi c’è l’anomalia nel raffreddamento delle nane bianche massicce di cui si parla nella sezione sui cristalli;
• le nane bianche più leggere, sotto circa $0{,}45$ masse solari, hanno un nucleo di elio. Una stella isolata di massa così piccola resterebbe nella sequenza principale per un tempo più lungo dell’età dell’Universo: queste nane bianche si sono formate in sistemi binari, nei quali la stella ha perso la maggior parte della sua massa a favore della compagna prima di poter fondere l’elio.

Una stella perde gran parte della sua massa prima di diventare una nana bianca. Nel 2018 Jeffrey Cummings e colleghi hanno ricostruito la relazione fra la massa iniziale della stella e quella della nana bianca che ne deriva, studiando Sirio B e $79$ nane bianche appartenenti a $13$ ammassi stellari. Tutte le stelle di uno stesso ammasso si considerano coeve: conoscendo l’età dell’ammasso e il tempo trascorso dalla nana bianca a raffreddarsi, si può risalire a quanto è vissuta la sua progenitrice e quindi alla sua massa. La relazione copre progenitrici da $0{,}85$ a $7{,}5$ masse solari. Le stelle all’estremo inferiore della relazione, di circa $0{,}85$ masse solari, perdono un terzo della loro massa. La perdita cresce rapidamente con la massa iniziale fino a circa $4$-$5$ masse solari e poi molto più lentamente, fino a superare di poco l’$80\%$ per le stelle di $7{,}5$ masse solari. La progenitrice di Sirio B, per esempio, era una stella di poco meno di $5$ masse solari, che ha lasciato una nana bianca di circa $1$ massa solare: ha perso quindi circa l’$80\%$ della sua massa.

Il risultato è che le masse delle nane bianche variano molto meno di quelle delle stelle da cui nascono. Le progenitrici variano da meno di una a circa otto masse solari; le nane bianche, invece, si concentrano attorno a un valore tipico. Secondo la già citata rassegna di Saumon, Blouin e Tremblay, circa il $60\%$ ha una massa compresa fra $0{,}5$ e $0{,}7$ masse solari e circa il $95\%$ fra $0{,}45$ e $1{,}1$ masse solari. Le restanti coprono un intervallo da circa $0{,}2$ fino a oltre $1{,}3$ masse solari.

Una struttura a strati#

Una tipica nana bianca è formata da strati di composizione, densità e spessore diversi. Secondo il modello presentato nel 2024 da Simon Blouin, il nucleo degenere di carbonio e ossigeno contiene oltre il $99\%$ della massa, ma si estende soltanto fino all’$85\%$ del raggio. Attorno al nucleo c’è uno strato di elio che contiene più o meno un centesimo della massa della stella e arriva fino al $94\%$ circa del raggio. Ancora più fuori, uno strato di idrogeno contiene intorno a un decimillesimo della massa e occupa il restante $6\%$ del raggio. L’atmosfera vera e propria, cioè la regione da cui proviene la luce che vediamo, contiene meno di un centomillesimo di miliardesimo ($10^{-14}$) della massa totale ed è spessa soltanto un centinaio di metri, all’incirca un centomillesimo del raggio. Gli strati esterni sono molto meno densi del nucleo: contengono appena l’$1\%$ della massa, ma occupano circa il $15\%$ del raggio e, poiché si trovano all’esterno, dove ogni guscio sferico ha un volume maggiore, racchiudono quasi il $40\%$ del volume della stella.

Questa stratificazione così netta è una conseguenza della gravità. Sulla superficie di una nana bianca l’accelerazione di gravità è nell’ordine delle centinaia di migliaia di volte quella terrestre: circa centomila volte per una nana bianca di massa tipica, oltre quattrocentomila per Sirio B, più massiccia della media, come mostra l’esempio numerico alla fine della voce. In un campo così intenso gli elementi più pesanti affondano rapidamente verso l’interno e quelli più leggeri galleggiano verso l’esterno, un processo chiamato sedimentazione gravitazionale. Per questo le atmosfere delle nane bianche sono quasi sempre composte di idrogeno puro o di elio puro: circa tre nane bianche su quattro conservano in superficie uno strato di idrogeno, mentre le altre mostrano l’elio sottostante.

Gli astronomi classificano gli spettri delle nane bianche con la lettera D, dall’inglese degenerate (termine che si riferisce alla materia degenere di cui sono fatte), seguita da una seconda lettera che indica che cosa si vede:

• DA: righe dell’idrogeno;
• DB: righe dell’elio neutro;
• DO: righe dell’elio ionizzato, nelle nane bianche più calde;
• DQ: righe o bande molecolari del carbonio, riportato in superficie dall’interno⁹ o, nelle nane bianche più calde, frutto della fusione di due nane bianche;
• DZ: righe di elementi più pesanti, come calcio, magnesio e ferro, caduti sulla stella da corpi rocciosi del suo sistema planetario;
• DC: nessuna riga evidente, perché la stella è troppo fredda per formarne di visibili.

Nel censimento completo delle nane bianche entro $40$ parsec dal Sole, pubblicato nel 2024 da Mairi O’Brien e colleghi, su $1\,076$ nane bianche $538$ sono di tipo DA, cioè circa la metà, e $287$ sono di tipo DC, quasi tutte molto fredde.

Gli strati esterni hanno un ruolo decisivo nella vita della stella. Il nucleo degenere conduce il calore in modo efficientissimo, grazie agli elettroni, e ha quasi la stessa temperatura in ogni punto: secondo quanto riportarono nel 2001 Gilles Fontaine, Pierre Brassard e Pierre Bergeron, per le nane bianche più comuni, con temperature superficiali fra $16\,000$ e $8\,000\,\text{K}$, la temperatura interna è compresa fra circa cinque e venti milioni di kelvin. L’involucro esterno, invece, non è degenere ed è molto opaco: funziona come la parete isolante di un thermos e lascia filtrare il calore molto lentamente. È questo isolamento a far durare miliardi di anni il raffreddamento.

Il lento raffreddamento#

Il calore dei nuclei#

Nello stesso lavoro del 1952 citato più sopra, Leon Mestel costruì la prima teoria del raffreddamento delle nane bianche. Mostrò che questo resto stellare non possiede più fonti apprezzabili di energia nucleare¹⁰ e irradia soltanto l’energia termica dei suoi nuclei atomici; mostrò che il calore attraversa il nucleo degenere senza difficoltà, grazie all’alta conducibilità degli elettroni, tanto che ha quasi la stessa temperatura in ogni punto; mostrò, infine, che è l’involucro, opaco come una coperta, a stabilire il ritmo con cui la stella perde energia. Da queste ipotesi ricavò una legge semplice, presentata più sotto nella sezione sul formalismo matematico: quanto meno una nana bianca è luminosa, tanto maggiore è il tempo necessario per ridurre ancora la sua luminosità di una stessa frazione. In altre parole, più la stella diventa fioca, più lentamente si affievolisce.

Mestel spiegò anche perché una nana bianca non può brillare di energia nucleare in modo stabile. Una stella normale, sostenuta dalla fusione nucleare, possiede quella che Mestel definì una “valvola di sicurezza”. Se produce più energia di quanta ne irradia, si espande e si raffredda, sicché le reazioni nucleari rallentano; se ne produce meno, si contrae e si scalda e le reazioni accelerano. Così la produzione di energia e la luminosità restano in equilibrio. Una nana bianca non ha questa valvola, perché la pressione degli elettroni degeneri non dipende dalla temperatura e la stella non può né espandersi né contrarsi. Se le sue fonti di energia fossero insufficienti, si raffredderebbe e le reazioni rallenterebbero ancora di più; se fossero eccessive, si scalderebbe e produrrebbe sempre più energia, fino a cessare di essere una nana bianca¹¹. L’equilibrio esisterebbe soltanto per una temperatura precisa e sarebbe instabile: secondo l’immagine usata da Mestel, la stella si troverebbe in bilico sul filo di un rasoio. Una nana bianca, concluse Mestel, non può quindi brillare a lungo di energia nucleare: deve brillare del calore accumulato, che le basta per miliardi di anni.

Poiché il raggio non cambia, una nana bianca che si raffredda diventa meno luminosa in proporzione alla quarta potenza della sua temperatura superficiale. Nel diagramma di Hertzsprung-Russell¹² percorre quindi una linea retta, tanto più spostata verso sinistra, cioè verso le temperature più alte, quanto più la stella è massiccia, come osservò lo stesso Mestel.

Il cammino del calore#

Come passa, concretamente, il calore dei nuclei atomici di una nana bianca fino allo spazio? I nuclei non emettono direttamente la luce che vediamo: l’energia compie un percorso in più tappe:

1. dai nuclei agli elettroni: all’interno della stella i nuclei atomici scambiano energia di continuo con gli elettroni, attraverso le interazioni elettriche fra le loro cariche. Gli elettroni sono degeneri e possono acquistare o cedere energia soltanto quelli che occupano gli stati più energetici, al bordo della sfera di Fermi, ma bastano a fare da intermediari;
2. dal nucleo all’involucro: gli elettroni degeneri, velocissimi, conducono il calore con un’efficienza paragonabile a quella di un metallo, ed è per questo che il nucleo di una nana bianca ha quasi la stessa temperatura in ogni punto. I fotoni, all’interno, contano poco, perché la materia densissima li assorbe quasi subito;
3. attraverso l’involucro: negli strati esterni, che non sono degeneri, la conduzione diventa inefficace e il calore viaggia sotto forma di radiazione. I fotoni vengono assorbiti e riemessi innumerevoli volte (come nell’interno del Sole) e, salendo verso strati sempre più freddi, la loro energia media diminuisce. Nelle nane bianche più fredde il calore è trasportato anche dalla convezione, cioè dal rimescolamento del gas. È questo il collo di bottiglia, la parete isolante del thermos, che fissa il ritmo del raffreddamento;
4. dalla fotosfera allo spazio: soltanto dalla fotosfera i fotoni possono sfuggire liberamente e trasportare l’energia fuori dalla stella. Il loro spettro corrisponde alla temperatura della superficie, non a quella del nucleo. All’interno di Sirio B la temperatura è di qualche decina di milioni di kelvin, alla quale un corpo nero emetterebbe soprattutto raggi X; la sua superficie, a circa $26\,000\,\text{K}$, emette invece soprattutto nell’ultravioletto.

Via via che cedono energia, i nuclei atomici si agitano sempre meno e la temperatura all’interno della stella scende; con essa scendono anche la temperatura della superficie e la luminosità.

A questo quadro si aggiungono alcuni fenomeni che ne modificano i tempi. Nei primi venti milioni di anni circa, quando l’interno è ancora caldissimo, la stella perde più energia sotto forma di neutrini¹³ che sotto forma di luce. Una nana bianca appena nata, cioè il nucleo della stella rimasto scoperto al centro della nebulosa planetaria, ha una temperatura superficiale dell’ordine di centomila kelvin e oltre: secondo le analisi di Klaus Werner e Thomas Rauch del 2015, le più calde conosciute, H1504+65 e RX J0439.8-6809, raggiungono circa $200\,000$ e $250\,000\,\text{K}$. In genere le nane bianche più massicce sono anche le più calde alla nascita. Da quelle temperature il raffreddamento iniziale è rapidissimo. Secondo i modelli di raffreddamento descritti nella più volte citata rassegna di Saumon, Blouin e Tremblay, una nana bianca di $0{,}6$ masse solari scende a una temperatura superficiale di $30\,000\,\text{K}$ in circa $9$ milioni di anni, mentre le nane bianche più fredde e più antiche che conosciamo hanno temperature appena inferiori a $4\,000\,\text{K}$ e un’età di circa $10$ miliardi di anni.

I cristalli di carbonio e ossigeno#

A un certo punto del raffreddamento il nucleo di una nana bianca cambia stato. I nuclei di carbonio e ossigeno, che si respingono a vicenda per la loro carica elettrica, si muovono sempre più lentamente via via che la temperatura scende, finché la repulsione elettrica prevale sull’agitazione termica e li blocca nelle posizioni di un reticolo regolare: il nucleo della stella diventa un solido cristallino. Secondo i calcoli teorici riportati nella rassegna di Saumon, Blouin e Tremblay, questo accade quando l’energia della repulsione fra due nuclei vicini supera di circa $175$ volte la loro energia di agitazione termica. In una nana bianca di massa tipica la cristallizzazione comincia al centro quando la temperatura superficiale scende sotto circa $6\,000\,\text{K}$, e il nucleo è interamente solido quando la stella si è raffreddata a circa $4\,000\,\text{K}$. Da quel momento i nuclei non si muovono più liberamente, ma vibrano attorno alle loro posizioni nel reticolo, e raffreddarsi significa per loro vibrare sempre meno. Come accade all’acqua che gela, questa trasformazione libera calore latente¹⁴, che rallenta temporaneamente il raffreddamento.

L’idea che le nane bianche cristallizzino risale all’inizio degli anni Sessanta. Nel 1968 Hugh Van Horn mostrò che il calore latente liberato dalla cristallizzazione basta a rallentare il raffreddamento in modo apprezzabile, e che questo rallentamento dovrebbe produrre un accumulo di nane bianche in una zona ben precisa del diagramma di Hertzsprung-Russell. La previsione restò a lungo senza conferma, perché le distanze delle nane bianche, oggetti deboli, erano note con poca precisione. Un primo indizio, ricordano Saumon, Blouin e Tremblay, fu trovato nel 2009 da Donald Winget e colleghi fra le nane bianche dell’ammasso globulare¹⁵ NGC 6397. La svolta venne dal satellite Gaia dell’ESA, che ha misurato la parallasse di centinaia di migliaia di nane bianche. Nel 2019 Pier-Emmanuel Tremblay e colleghi individuarono l’accumulo previsto fra le $15\,109$ nane bianche situate entro $100$ parsec dal Sole. Secondo gli autori, il ritardo nel raffreddamento è dovuto non soltanto al calore latente, ma anche all’energia gravitazionale liberata dalla separazione degli elementi: il solido che si forma è più ricco di ossigeno del liquido da cui nasce, e quindi più denso, mentre il liquido che resta, più ricco di carbonio e più leggero, risale e si rimescola con quello soprastante. Così, man mano che la cristallizzazione avanza, l’ossigeno si concentra verso il centro della stella.

Non tutto è ancora chiaro. Nel 2019 Sihao Cheng, Jeffrey Cummings e Brice Ménard hanno confrontato due stime indipendenti dell’età di oltre mille nane bianche massicce osservate da Gaia: quella ricavata dai modelli di raffreddamento e quella suggerita dai loro moti. Le osservazioni mostrano infatti che nel disco della Galassia le stelle più vecchie si muovono, in media, più velocemente di quelle giovani: la velocità di una popolazione di stelle è quindi un indizio della sua età. Fra le nane bianche che secondo i modelli di raffreddamento avrebbero soltanto da $0{,}5$ a $2$ miliardi di anni, gli autori hanno trovato un eccesso di stelle veloci, tipiche di una popolazione molto più vecchia. Ne hanno concluso che circa il $6\%$ delle nane bianche fra $1{,}08$ e $1{,}23$ masse solari deve subire un ritardo nel raffreddamento di circa $8$ miliardi di anni, in aggiunta a quello dovuto alla cristallizzazione: per tutto quel tempo la loro luminosità resta quasi costante. Gli autori hanno suggerito che la causa possa essere la lenta discesa verso il centro del neon-22¹⁶, un isotopo raro presente nel nucleo, che libererebbe energia gravitazionale. L’ipotesi è ancora oggetto di ricerca.

Dalla formula di Mestel ai modelli di oggi#

La legge di Mestel coglieva la fisica essenziale del raffreddamento, ma si reggeva su forti semplificazioni: una stella a temperatura uniforme, nuclei atomici che si comportano come un gas ordinario, un involucro descritto con una legge approssimata per l’opacità. Nei decenni successivi queste semplificazioni sono state abbandonate una dopo l’altra.

Il primo passo decisivo venne dal gruppo di Van Horn all’Università di Rochester. Nel 1975 Donald Lamb e lo stesso Van Horn presentarono il primo modello evolutivo completo di una nana bianca, di carbonio puro e di una massa solare. Invece di ricorrere a una formula, il calcolo seguiva numericamente la struttura della stella man mano che si raffreddava. Comprendeva una descrizione dettagliata del plasma del nucleo, prima liquido e poi solido, compreso il calore latente liberato dalla cristallizzazione, e un trattamento accurato dell’involucro, della sua ionizzazione parziale e della convezione. Da allora le età delle nane bianche non si ricavano più da una formula, ma dal confronto con tracce di raffreddamento calcolate al computer. Sono di questo tipo i modelli che Winget e colleghi usarono nel 1987 per datare il disco della Galassia, come si vedrà nella prossima sezione.

All’inizio degli anni Novanta Matt Wood estese i calcoli a nuclei di composizione diversa, dal carbonio puro all’ossigeno puro, adottando opacità più aggiornate, e in lavori successivi a nane bianche con uno strato superficiale di idrogeno; i suoi modelli restarono a lungo il riferimento standard. Nello stesso periodo si studiò in dettaglio la separazione fra carbonio e ossigeno durante la cristallizzazione, di cui si è parlato a proposito del campione di nane bianche analizzato studiando i dati del satellite Gaia. Secondo i calcoli di Gilles Chabrier e colleghi, la separazione allunga di circa il $14\%$ il tempo che una nana bianca di $0{,}6$ masse solari impiega a scendere a circa un trentamillesimo della luminosità del Sole.

I modelli attuali, descritti nella rassegna di Saumon, Blouin e Tremblay, comprendono tutti questi ingredienti e altri ancora: le perdite di energia sotto forma di neutrini nella fase giovanile, la sedimentazione del neon-22 e l’accoppiamento convettivo¹⁷ fra la superficie e il nucleo nelle nane bianche più fredde. A differenza del passato, oggi possono essere messi alla prova con i dati di Gaia, che hanno confermato la cristallizzazione e messo in luce anomalie come quella delle nane bianche massicce il cui raffreddamento resta bloccato per miliardi di anni.

Il quadro fisico di Mestel resta valido: il calore è quello dei nuclei atomici, il nucleo degenere della stella lo conduce quasi senza ostacoli e l’involucro opaco fa da coperta. Su un punto, però, i modelli moderni ne correggono le previsioni. Secondo la legge di Mestel, una nana bianca più massiccia, che contiene più calore, impiega più tempo di una nana bianca meno massiccia per affievolirsi fino a una stessa luminosità. I modelli moderni confermano questa tendenza nelle prime fasi del raffreddamento, ma la capovolgono in quelle avanzate. Come spiegano Saumon, Blouin e Tremblay, le nane bianche più massicce cristallizzano presto, quando sono ancora luminose, e il calore liberato si disperde rapidamente; poi entrano nella fase detta del raffreddamento di Debye¹⁸, in cui il cristallo immagazzina molto meno calore di quanto farebbero gli stessi nuclei atomici liberi. Alla lunga sono quindi quelle che si raffreddano più in fretta, come mostra uno degli esempi riportati nell’apposita sezione.

Nonostante i progressi, la datazione delle nane bianche non è ancora precisa quanto vorrebbero gli astronomi. Secondo la stessa rassegna, per le nane bianche più antiche, quelle intorno a $10$ miliardi di anni, l’incertezza sull’età supera probabilmente il miliardo di anni. Dipende da tre fattori:

• la fisica della materia densa, cioè le opacità, l’equazione di stato¹⁹ e la produzione di neutrini;
• la quantità di carbonio e di ossigeno nel nucleo, che stabilisce quanto calore la stella contiene;
• la massa degli strati di idrogeno e di elio, che determina lo spessore dell’involucro opaco.

Ridurre l’incertezza a circa il $4\%$ è uno degli obiettivi principali della ricerca sulle nane bianche: con quella precisione le loro età potrebbero aiutare a distinguere fra modelli cosmologici concorrenti.

Verso la nana nera#

Una nana bianca che continuasse a raffreddarsi fino a esaurire il calore accumulato, avvicinandosi alla temperatura dello spazio che la circonda, oggi meno di $3\,\text{K}$, diventerebbe una nana nera: un corpo che non irradia più di quanto riceve dall’ambiente. Nell’uso corrente il termine non corrisponde a una soglia precisa di temperatura e i modelli di raffreddamento non arrivano così lontano. Le sequenze di raffreddamento calcolate nel 2020 da Antoine Bédard e colleghi dell’Università di Montréal, disponibili online, si fermano per esempio quando la temperatura superficiale scende a circa $1\,500\,\text{K}$: a quel punto la luminosità della stella è circa un milionesimo di quella del Sole e la sua radiazione è quasi tutta infrarossa. Il tempo necessario per raggiungere tale soglia dipende molto dalla massa e dalla composizione della nana bianca, come mostrano i seguenti valori, riportati dalle tabelle di Bédard e colleghi:

Lo strato di idrogeno spesso contiene un decimillesimo della massa della stella, quello sottilissimo un decimiliardesimo; in entrambi i casi sotto l’idrogeno c’è uno strato di elio pari a un centesimo della massa. Secondo questi modelli, le nane bianche più massicce arrivano a $1\,500\,\text{K}$ molto prima delle altre, perché cristallizzano presto ed entrano prima nel raffreddamento di Debye. Le sequenze, però, considerano soltanto idrogeno, elio, carbonio e ossigeno; non tengono conto del neon-22: non riproducono quindi il ritardo di miliardi di anni che, secondo Cheng e colleghi, subisce una piccola parte delle nane bianche massicce. Per quelle stelle i tempi reali sarebbero molto più lunghi di quelli della tabella.

Anche la composizione dell’involucro conta, perché cambia l’opacità, cioè lo spessore della “coperta” che filtra l’emissione di radiazione: a parità di massa, le nane bianche quasi prive di idrogeno si raffreddano più in fretta. Infine, come notarono Fontaine, Brassard e Bergeron, a parità di massa una nana bianca con il nucleo di carbonio impiega più tempo di una con il nucleo di ossigeno per affievolirsi fino a una stessa luminosità, perché un grammo di carbonio contiene più nuclei atomici e quindi più calore.

Ciò che ci dice la tabella riportata più sopra è che una nana bianca di massa tipica impiega più dell’età attuale dell’Universo, circa $13{,}8$ miliardi di anni, anche soltanto per scendere a $1\,500\,\text{K}$. Le nane bianche più massicce, nate da stelle che vivono poche decine di milioni di anni, potrebbero invece essere già arrivate a quella temperatura, se si sono formate abbastanza presto nella storia della Galassia. Nemmeno esse, però, sono nane nere: a $1\,500\,\text{K}$ emettono ancora radiazione infrarossa.

Quanto tempo serva per scendere fino a temperature di pochi kelvin, i modelli di raffreddamento attuali non lo calcolano. Si può formulare soltanto una stima di massima, che non si fonda su studi specifici: è un’estrapolazione fatta ad hoc, prolungando l’andamento dell’ultimo tratto della sequenza di Bédard e colleghi per una nana bianca di $0{,}6$ masse solari. In quel tratto la temperatura superficiale si dimezza ogni $3$ miliardi di anni circa, a un ritmo che accelera lentamente. Se l’andamento restasse lo stesso, la stella scenderebbe intorno a $5\,\text{K}$ dopo $30$-$40$ miliardi di anni dalla nascita, cioè dopo un tempo pari a due o tre volte l’età attuale dell’Universo. A temperature così basse, però, la fisica del raffreddamento cambia, e il tempo reale potrebbe essere anche molto diverso. L’unica cosa pressoché certa è che al momento nessuna nana bianca ha avuto ancora il tempo necessario per diventare una nana nera.

Orologi cosmici#

Proprio perché il raffreddamento è lento e prevedibile, le nane bianche sono eccellenti orologi. Una nana bianca di $0{,}6$ masse solari, secondo Blouin, ha bisogno per formarsi di circa $4$ miliardi di anni di vita della stella progenitrice, quasi tutti trascorsi sulla sequenza principale, poi di altri $6$ miliardi di anni circa per raffreddarsi fino a $5\,000\,\text{K}$. In una data popolazione stellare, le nane bianche più fredde indicano quindi da quanto tempo quella popolazione esiste.

Nel 1987 Donald Winget e colleghi applicarono questo principio al disco della Galassia. Il numero di nane bianche vicine al Sole cresce man mano che si scende verso luminosità più basse, come ci si aspetta da stelle che si raffreddano sempre più lentamente. Ma, intorno a $1/30\,000$ della luminosità del Sole, il numero crolla bruscamente. Le nane bianche più deboli non mancano perché siano difficili da vedere, ma perché non hanno ancora avuto il tempo di formarsi. Dal punto in cui avviene il crollo, Winget e colleghi ricavarono per il disco della Galassia un’età di $9{,}3 \pm 2{,}0$ miliardi di anni. Il metodo, detto cosmocronologia delle nane bianche, è indipendente da quelli basati sulle stelle di sequenza principale²⁰; nel 2001 Fontaine, Brassard e Bergeron ne descrissero in dettaglio le potenzialità e i limiti.

Lo stesso principio vale per gli ammassi stellari. Nel 2007 Brad Hansen e colleghi hanno osservato con il telescopio spaziale Hubble le nane bianche dell’ammasso globulare NGC 6397, uno dei più vicini al Sole, fino al punto in cui la loro sequenza di raffreddamento si interrompe. Ne hanno ricavato un’età di $11{,}47 \pm 0{,}47$ miliardi di anni, più precisa delle età ottenute studiando le stelle di sequenza principale dello stesso ammasso.

Quante sono e dove sono#

Le nane bianche sono deboli perché sono molto più piccole delle stelle normali: nessuna è visibile a occhio nudo. Fino alla fine del Novecento se ne conoscevano poche migliaia. Il catalogo pubblicato nel 2021 da Nicola Gentile Fusillo e colleghi sulla base dei dati di Gaia elenca circa $359\,000$ candidate ad alta probabilità. Secondo lo stesso gruppo, nei dintorni del Sole si contano circa $4{,}5$ nane bianche ogni mille parsec cubi, cioè in media una ogni $220$ parsec cubi circa. La più vicina è Sirio B, a $8{,}6$ anni luce da noi.

Il campione più accurato è quello delle nane bianche entro $40$ parsec dal Sole, quasi tutte individuate da Gaia e confermate con la spettroscopia. Secondo il già citato censimento di O’Brien e colleghi, delle $1\,076$ nane bianche che ne fanno parte soltanto il $3\%$ ha una massa superiore a quella del Sole.

Le nane bianche sono sparse in tutta la Galassia. Nel 2014 Annalisa Calamida e colleghi hanno individuato per la prima volta quelle del rigonfiamento centrale della Via Lattea (il cosiddetto bulge), a circa $25\,000$ anni luce da noi, in un piccolo campo stellare osservato ripetutamente dal telescopio spaziale Hubble fra il 2004 e il 2013. Il campione finale comprendeva $72$ nane bianche, selezionate in base al moto proprio²¹ per escludere le stelle del disco che si trovano lungo la stessa linea di vista. Erano più o meno il doppio di quelle attese se fossero state tutte nane bianche di carbonio e ossigeno; inoltre, il $30\%$ circa appariva più rosso di quanto previsto per nane bianche di quel tipo. Secondo gli autori, i due risultati si spiegano insieme se il $30$-$40\%$ delle nane bianche del rigonfiamento ha un nucleo di elio. Poiché le stelle del rigonfiamento hanno circa $11$-$12$ miliardi di anni, troppo pochi perché una stella isolata di piccola massa diventi una nana bianca di elio, queste nane bianche devono essersi formate in sistemi binari. Lo confermano altri oggetti trovati nello stesso campo: due novae nane in eruzione e cinque probabili variabili cataclismiche²² in quiete, sistemi binari stretti che contengono una nana bianca.

Quante sono le nane bianche della Via Lattea? Nessuno le ha contate e non si può semplicemente moltiplicare la densità misurata vicino al Sole oppure quella osservata nel bulge per il volume della Galassia, perché la densità cambia molto da una regione all’altra. Nel 2009 Ralf Napiwotzki ha stimato, con un modello della Galassia tarato sulla densità locale, circa $2$ miliardi di nane bianche nel disco sottile, $3{,}9$ miliardi nel disco spesso²³ e $5{,}6$ miliardi nell’alone. Vicino al Sole le nane bianche dell’alone sono appena una su venti circa, ma l’alone occupa un volume immenso. Il rigonfiamento centrale non rientra nel conteggio.

Per il rigonfiamento si può fare una stima molto approssimativa, da prendere con cautela dato che non viene da uno studio pubblicato. Secondo i modelli dinamici di Matthieu Portail e colleghi, la regione del rigonfiamento contiene fra $12{,}5$ e $16$ miliardi di masse solari di stelle. Una popolazione di stelle vecchia di circa $10$ miliardi di anni produce circa $0{,}3$ nane bianche per ogni massa solare di stelle presenti oggi. Si ottengono così $4$-$5$ miliardi di nane bianche, con una densità media di qualche decimo di nana bianca per parsec cubo, decine di volte quella dei dintorni del Sole, e molto più alta verso il centro. Sommando questa stima a quelle di Napiwotzki, nella Galassia ci sarebbero, molto all’ingrosso, $15$ miliardi di nane bianche.

Campi magnetici#

Molte nane bianche possiedono un campo magnetico. Nel 2021 Stefano Bagnulo e John Landstreet hanno cercato campi magnetici in quasi tutte le circa $150$ nane bianche situate entro $20$ parsec dal Sole e li hanno trovati in $33$, cioè in circa una su cinque. L’intensità va da $40\,000$ gauss a $300$ milioni di gauss, cioè da $4$ a $30\,000$ tesla. I campi sono più frequenti nelle nane bianche più massicce della media e in quelle nelle quali il nucleo ha già cominciato a cristallizzare, mentre sono rari in quelle più giovani di mezzo miliardo di anni. L’origine dei campi magnetici delle nane bianche è ancora discussa: potrebbero essere ereditati dalla stella progenitrice, prodotti dalla fusione di due nane bianche o generati da un effetto dinamo legato alla cristallizzazione del nucleo.

Cimiteri di pianeti#

Per la sedimentazione gravitazionale, gli elementi più pesanti dell’elio dovrebbero sparire dall’atmosfera di una nana bianca in un tempo che va da pochi giorni a qualche milione di anni, molto breve rispetto ai miliardi di anni del raffreddamento. Eppure in molte nane bianche si osservano righe di calcio, magnesio, ferro e silicio. Nel 2014 Detlev Koester, Boris Gänsicke e Jay Farihi hanno osservato nel lontano ultravioletto, con il telescopio spaziale Hubble, $85$ nane bianche di tipo DA e hanno trovato elementi pesanti in $48$ di esse. In almeno il $27\%$ del campione, secondo gli autori, gli elementi devono essere arrivati di recente e la stella li sta ancora accumulando.

La spiegazione oggi accettata è che tali elementi provengano da corpi rocciosi del sistema planetario sopravvissuto alla morte della stella: asteroidi o frammenti di pianeti che, spinti verso la nana bianca dalle perturbazioni gravitazionali dei pianeti superstiti, vengono frantumati dalle forze di marea e finiscono per cadere sulla superficie della stella. Analizzando la composizione dell’atmosfera della nana bianca, si può ricostruire quella dei corpi distrutti, che in genere somiglia a quella della Terra. È una finestra unica per misurare direttamente la composizione chimica di corpi rocciosi esterni al Sistema solare.

Nel 2015 Andrew Vanderburg e colleghi colsero il processo in atto. Studiando la curva di luce della nana bianca WD 1145+017, osservata dal telescopio spaziale Kepler, trovarono cali di luminosità profondi fino al $40\%$, che si ripetevano ogni $4{,}5$ ore circa: la spiegazione più probabile è che i cali di luminosità fossero dovuti a uno o più piccoli corpi rocciosi in disgregazione, circondati da nubi di polvere, transitanti davanti alla stella. Nel 2020 lo stesso Vanderburg e colleghi hanno annunciato la scoperta di un candidato pianeta gigante, grande più o meno come Giove e con una massa non superiore a $14$ volte quella di Giove, che transita davanti alla nana bianca WD 1856+534 ogni $1{,}4$ giorni. Secondo gli autori, la scoperta dimostra che un pianeta gigante può sopravvivere alla fase di gigante rossa della sua stella e finire poi su un’orbita strettissima senza finire distrutto.

Formalismo matematico#

Lo spostamento gravitazionale verso il rosso#

Per un corpo di massa $M$ e raggio $R$, lo spostamento relativo della lunghezza d’onda è dato da una formula semplice, valida finché la quantità $GM/Rc^2$ è molto minore di $1$. La condizione è soddisfatta anche dalle nane bianche (per Sirio B quella quantità vale meno di tre decimillesimi). La loro gravità è enorme rispetto a quella terrestre, ma ancora lontana da quella delle stelle di neutroni e dei buchi neri, per i quali occorre la formula completa della relatività generale. Lo spostamento relativo della lunghezza d’onda è dato dunque dalla formula:

dove:

• $\Delta\lambda$ è la differenza fra la lunghezza d’onda osservata e quella emessa;
• $\lambda$ è la lunghezza d’onda emessa;
• $G \approx 6{,}674 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ è la costante di gravitazione universale;
• $c \approx 2{,}998 \times 10^{8}\,\text{m/s}$ è la velocità della luce.

Per esprimere lo spostamento come velocità equivalente si usa la relazione dell’effetto Doppler: una sorgente che si allontana a una velocità $v$ molto minore di quella della luce produce uno spostamento relativo $z = v/c$. La velocità che corrisponde a un dato spostamento è quindi $v = c\,z$. Basta allora moltiplicare per $c$ la formula precedente:

Nell’ultimo passaggio la $c$ al numeratore si semplifica con una delle due $c$ del denominatore, perché $c^2 = c \times c$.

Lo spostamento dipende solo dal rapporto $M/R$, dato che $G$ e $c$ sono costanti note. Perciò misurarlo in una nana bianca di massa nota permette di ricavarne il raggio: proprio ciò che Eddington propose nel 1924.

La gravità superficiale#

L’accelerazione di gravità sulla superficie di una stella di massa $M$ e raggio $R$ è:

Gli astronomi la esprimono spesso con il suo logaritmo decimale, indicato con $\log g$, calcolato dopo aver espresso $g$ in unità del sistema CGS, cioè in centimetri al secondo quadrato. Il logaritmo decimale di un numero è l’esponente a cui bisogna elevare $10$ per ottenere quel numero: dire che $\log g = 8$ equivale a dire che $g = 10^{8}\,\text{cm/s}^2$.

Per il Sole, per esempio, $g \approx 274\,\text{m/s}^2$, cioè $27\,400\,\text{cm/s}^2$. Quindi:

Spiegato in parole, $4{,}44$ è l’esponente a cui bisogna elevare $10$ per ottenere (approssimativamente) $27\,400$. Per una nana bianca tipica $\log g \approx 8$, che corrisponde a:

ovvero un milione di metri (mille chilometri) al secondo quadrato, cioè poco più di centomila volte la gravità sulla superficie della Terra²⁴.

Il tempo di raffreddamento secondo Mestel#

Nella teoria di Mestel l’energia termica di una nana bianca è quella dei suoi nuclei atomici, che si comportano come un gas ordinario:

dove:

• $\mathcal{R} \approx 8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ è la costante dei gas²⁵;
• $A$ è il peso atomico medio dei nuclei ($12$ per il carbonio, $16$ per l’ossigeno): a parità di massa, un nucleo stellare di carbonio contiene più nuclei atomici di uno di ossigeno e quindi immagazzina più calore;
• $M$ è la massa della nana bianca, espressa in grammi se $\mathcal{R}$ è espressa per mole;
• $T$ è la temperatura, quasi uniforme, del nucleo degenere.

L’involucro opaco lascia filtrare il calore in modo che la luminosità $L$ dipenda dalla temperatura del nucleo stellare secondo la relazione

dove $M$ è, come sopra, la massa della nana bianca e $C$ è una costante che dipende dalla composizione e dall’opacità dell’involucro. Con i valori numerici adottati da Mestel per l’opacità e con $L$ e $M$ espresse in unità solari, da questa relazione si ricava la temperatura interna, cioè quella del nucleo degenere, molto più alta della temperatura superficiale:

La luminosità è il ritmo con cui la stella perde la sua energia termica. Combinando le due relazioni precedenti si ottiene quindi il tempo trascorso da quando la stella è diventata una nana bianca:

cioè circa $0{,}4$ volte il rapporto fra il calore ancora contenuto nella stella e la luminosità attuale. I passaggi che portano a queste formule sono riportati nell’appendice.

Sostituendo $T$ con la sua espressione in funzione di $L$, si vede che a parità di composizione il tempo scala con $(M/L)^{5/7}$. Fontaine, Brassard e Bergeron, nel 2001, riportarono la legge di Mestel nella forma più generale:

dove $\mu$ è il peso molecolare medio²⁶ della materia dell’involucro, che ne influenza l’opacità. Il simbolo $\propto$ indica una proporzionalità: la formula dice come il tempo di raffreddamento varia con queste grandezze, ma non ne dà il valore, perché omette il fattore costante che la trasformerebbe in un’uguaglianza. Quel fattore si può calcolare, ma dipende dalle ipotesi sull’opacità dell’involucro e cambia da un modello all’altro. Non serve quindi a calcolare in anni da quanto tempo una stella è una nana bianca, ma a confrontare due nane bianche o la stessa nana bianca in due momenti diversi: nel rapporto fra i due tempi di raffreddamento, la costante si semplifica e si può dire quante volte l’uno è più lungo dell’altro. Un esempio è riportato più avanti.

La luminosità $L$ compare al denominatore: quanto più è bassa, tanto più grande è il valore della frazione, cioè il tempo trascorso. È il modo in cui la formula esprime il fatto che il raffreddamento rallenta col passare del tempo. La teoria di Mestel si basa su ipotesi molto semplificate (trascura la cristallizzazione, la convezione negli strati esterni e le perdite di energia sotto forma di neutrini) e i modelli moderni ne correggono sensibilmente i risultati. Ne conservano però l’andamento generale: studiarla è pertanto utile per capire da quali grandezze dipende il raffreddamento. Le età delle nane bianche si calcolano oggi con modelli evolutivi numerici, che correggono la legge di Mestel su un punto: la massa al numeratore farebbe pensare che le nane bianche più massicce impieghino sempre più tempo a raffreddarsi, mentre nelle fasi avanzate sono quelle che si raffreddano più in fretta, come spiegato nella sezione Dalla formula di Mestel ai modelli di oggi.

Esempi numerici#

Lo spostamento verso il rosso di Sirio B#

Sirio B ha una massa di $1{,}018$ masse solari, cioè $M = 1{,}018 \times 1{,}989 \times 10^{30} \approx 2{,}025 \times 10^{30}\,\text{kg}$, e un raggio di $0{,}00803$ raggi solari, cioè $R = 0{,}00803 \times 6{,}957 \times 10^{8} \approx 5{,}587 \times 10^{6}\,\text{m}$, circa $5\,590\,\text{km}$. Lo spostamento gravitazionale verso il rosso previsto, espresso come velocità, è:

cioè circa $80{,}7\,\text{km/s}$, in ottimo accordo con gli $80{,}65 \pm 0{,}77\,\text{km/s}$ misurati da Joyce e colleghi. Per il Sole, con una massa $1{,}018$ volte minore e un raggio $125$ volte maggiore, lo stesso calcolo dà circa $0{,}64\,\text{km/s}$.

La gravità sulla superficie di Sirio B#

Con gli stessi valori:

circa $440\,000$ volte l’accelerazione di gravità sulla superficie della Terra ($9{,}81\,\text{m/s}^2$). Una persona di $70\,\text{kg}$ peserebbe su Sirio B intorno alle $31\,000$ tonnellate. In unità CGS, $g \approx 4{,}33 \times 10^{8}\,\text{cm/s}^2$; quindi:

È un valore elevato anche per una nana bianca, a causa della grande massa di Sirio B. Per la Terra, invece, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, cioè $981\,\text{cm/s}^2$, da cui deriva:

La differenza fra i due valori è $8{,}64 - 2{,}99 = 5{,}65$. I valori espressi come $\log g$ rappresentano l’esponente a cui bisogna elevare $10$. Pertanto, il rapporto fra la gravità superficiale di Sirio B e quella della Terra è:

Il risultato coincide, a meno degli arrotondamenti dei logaritmi, con le circa $440\,000$ volte calcolate sopra.

Da quanto tempo Sirio B è una nana bianca#

Applichiamo la teoria di Mestel a Sirio B. Con il raggio già usato e la temperatura superficiale di circa $25\,900\,\text{K}$ misurata da Joyce e colleghi, la luminosità di Sirio B rispetto a quella del Sole, che ha una temperatura superficiale di $5\,772\,\text{K}$, si ricava dalla legge di Stefan-Boltzmann:

La luminosità di Sirio B è dunque, approssimativamente, $2{,}6$ centesimi di quella solare. La temperatura del nucleo, secondo la relazione di Mestel, è:

cioè circa $35$ milioni di kelvin, un valore che ricade nello stesso ordine di grandezza di quello dei modelli moderni, che calcolano per Sirio B una temperatura del nucleo di circa $23$ milioni di kelvin.

Per il tempo di raffreddamento conviene lavorare in unità CGS, come Mestel: $\mathcal{R} = 8{,}314 \times 10^{7}\,\mathrm{erg\,mol^{-1}\,K^{-1}}$, $M = 2{,}025 \times 10^{33}\,\text{g}$ e $L = 0{,}026 \times 3{,}828 \times 10^{33} \approx 9{,}95 \times 10^{31}\,\text{erg/s}$. Con un nucleo di carbonio, $A = 12$:

cioè circa $93$ milioni di anni. Con un nucleo misto di carbonio e ossigeno ($A \approx 13{,}7$) si ottengono invece circa $82$ milioni di anni.

I modelli moderni danno valori più alti. Nel 2017 Howard Bond e colleghi, con la stessa massa dinamica usata qui, hanno ricavato dalla posizione di Sirio B nel diagramma di Hertzsprung-Russell un’età di raffreddamento di circa $126$ milioni di anni. Nel 2018 Cummings e collaboratori, partendo dalla temperatura e dalla gravità superficiale misurate nello spettro, che corrispondono a una massa di $0{,}98$ masse solari, hanno stimato circa $99$ milioni di anni. La teoria di Mestel, che ha più di settant’anni, sottostima quindi il tempo di raffreddamento di Sirio B. Rispetto alla stima di Bond e colleghi, lo scarto arriva a poco più di un terzo, nel caso del nucleo misto di carbonio e ossigeno; rispetto a quella di Cummings e collaboratori, invece, i $93$ milioni di anni calcolati per un nucleo di carbonio sono sorprendentemente vicini ai $99$ dei modelli moderni. La coincidenza non va sopravvalutata, perché un nucleo di solo carbonio è meno realistico di uno misto e le due stime moderne differiscono fra loro di quasi trenta milioni di anni. Resta però un risultato notevole per un modello che trascura la convezione e le perdite di energia sotto forma di neutrini e usa una legge semplificata per l’opacità dell’involucro.

Quanto rallenta il raffreddamento#

I modelli moderni non si riassumono in una formula: sono tabelle che seguono, passo per passo, l’evoluzione di nane bianche di massa e composizione diverse. Ne sono un esempio le sequenze di raffreddamento di Bédard e colleghi, già citate a proposito delle nane nere e disponibili online. Per nane bianche con nucleo di carbonio e ossigeno e uno strato superficiale di idrogeno pari a un decimillesimo della massa, le tabelle danno questi tempi per raggiungere tre diverse luminosità:

Fra parentesi è indicata la temperatura superficiale. I valori delle tabelle sono stati adattati per questa voce, interpolando fra i modelli più vicini.

Il rallentamento del raffreddamento è evidente. Per la nana bianca di $0{,}6$ masse solari, il rapporto fra il tempo necessario a scendere a un decimillesimo della luminosità solare e quello necessario a scendere a un millesimo è:

Per perdere un altro fattore dieci di luminosità, la stella impiega quindi un tempo complessivo oltre sei volte maggiore. Per la nana bianca di $1$ massa solare lo stesso rapporto vale:

La legge di Mestel, nella quale il tempo scala con $1/L^{5/7}$, darebbe per entrambe lo stesso valore, $10^{5/7} \approx 5{,}2$. La differenza dipende dalla cristallizzazione. Intorno a un decimillesimo della luminosità solare il nucleo della nana bianca di $0{,}6$ masse solari sta cristallizzando, e il calore liberato ne rallenta il raffreddamento; quello della nana bianca di $1$ massa solare aveva cominciato a cristallizzare prima ancora di scendere a un millesimo della luminosità solare, e a un decimillesimo è già quasi tutto solido.

La tabella mostra anche il sorpasso descritto nella sezione sui modelli moderni. La nana bianca più massiccia è quella che impiega più tempo a raggiungere un millesimo della luminosità solare, come prevede la legge di Mestel; i tempi per arrivare a un decimillesimo sono quasi uguali; a un trentamillesimo, però, la nana bianca da $1$ massa solare arriva prima di quella da $0{,}6$ masse solari.

Appendice: come si ricava la legge di Mestel#

Questa appendice riporta, per chi vuole seguirli, i passaggi che portano alle formule della sezione Il tempo di raffreddamento secondo Mestel.

L’energia termica. Il punto di partenza è l’energia termica dei nuclei atomici:

La formula si capisce meglio riordinandone i fattori:

Il primo fattore, $M/A$, è il numero di moli di nuclei atomici contenuti nella stella: dato che una mole di nuclei di peso atomico $A$ ha una massa di $A$ grammi, dividendo la massa della stella espressa in grammi per $A$ si ottiene quante moli contiene. Il secondo fattore, $\frac{3}{2}\mathcal{R}T$, è l’energia termica di ciascuna mole alla temperatura $T$. L’energia totale è il prodotto dei due fattori.

La temperatura interna. La seconda relazione lega la luminosità alla temperatura del nucleo stellare:

Da questa relazione si può ricavare la temperatura interna, cioè quella del nucleo degenere, molto più alta della temperatura superficiale. Dividendo entrambi i membri per $C\,M$ si isola $T^{7/2}$; elevando poi alla potenza $2/7$, che è l’operazione inversa dell’elevamento a $7/2$, si ottiene $T$:

La costante è rimasta isolata nel fattore $C^{-2/7}$, che ha le dimensioni di una temperatura. Con i valori numerici adottati da Mestel per l’opacità dell’involucro, e con $L$ e $M$ espresse in unità solari, quel fattore vale circa $10^{8}\,\text{K}$. La relazione diventa così:

Il tempo di raffreddamento. La luminosità è il ritmo con cui la stella perde la sua energia termica. Per scriverlo in formula si usa la notazione dell’analisi matematica: $dE$ indica la piccolissima variazione dell’energia che avviene in un intervallo di tempo altrettanto piccolo $dt$; il rapporto $dE/dt$ è la rapidità con cui l’energia cambia, cioè la sua variazione per unità di tempo. Poiché la stella perde energia, $dE$ è negativa; il segno meno davanti al rapporto serve a ottenere una luminosità positiva, com’è l’energia emessa. Analogamente, il rapporto $dT/dt$ esprime la rapidità con cui cambia la temperatura. Nella formula dell’energia termica cambia nel tempo soltanto $T$; pertanto:

Uguagliando questa espressione a $L = C\,M\,T^{7/2}$ si ottiene:

La massa $M$ compare in entrambi i membri e si può eliminare dividendo per $M$. Resta una relazione fra la rapidità del raffreddamento e la temperatura:

Integrando²⁷ dalla nascita della nana bianca, quando la sua temperatura era molto più alta di quella attuale, si ottiene il tempo trascorso da allora:

Il fattore $2/5$ viene dall’integrazione della potenza $T^{7/2}$; moltiplicato per il $3/2$ dell’energia termica dà $3/5$, cioè $0{,}6$. Il simbolo di approssimazione indica che si è trascurato il contributo della temperatura iniziale, molto più alta di quella attuale. Resta da eliminare la costante $C$. Poiché $T^{7/2} = T^{5/2} \times T$, la relazione $L = C\,M\,T^{7/2}$ si può scrivere $L = C\,M\,T^{5/2}\,T$; dividendo entrambi i membri per $M\,T$ si ricava $C\,T^{5/2} = L/(M\,T)$. Questa espressione va sostituita al posto di $C\,T^{5/2}$ nel denominatore della formula precedente. Dividere per una frazione equivale a moltiplicare per la frazione capovolta: per questo $M$ e $T$ passano al numeratore e $L$ al denominatore.

Dato che l’energia termica è $E = \frac{3}{2}\,\frac{\mathcal{R}}{A}\,M\,T$, il tempo trascorso equivale a $0{,}6 : 1{,}5 = 0{,}4$ volte il rapporto $E/L$ fra il calore ancora contenuto nella stella e la luminosità attuale. La legge di Mestel si può quindi scrivere nella forma più compatta:

Il rapporto $E/L$ è il tempo che la stella impiegherebbe a esaurire il calore rimasto se continuasse a irradiare alla luminosità attuale. Il fattore $0{,}4$ tiene conto del fatto che in passato la stella era più luminosa e consumava il suo calore più in fretta.