La parola deriva dal latino tardo eccentricus, a sua volta dal greco ἔκκεντρος (ékkentros, “fuori dal centro”), composto da ἐκ- (“fuori da”) e κέντρον (“centro”).
In meccanica celeste e geometria, l’eccentricità, indicata generalmente con la lettera $e$, è un parametro adimensionale che determina quanto l’orbita di un corpo celeste devia dalla forma circolare. In termini più semplici, essa misura quanto l’ellisse orbitale è ‘schiacciata’ rispetto a una circonferenza perfetta.
Calcolo dell’eccentricità#
L’eccentricità nasce nello studio delle sezioni coniche, cioè delle curve ottenute dall’intersezione di un piano con un cono. Per un’ellisse essa è legata al semiasse maggiore $a$ e al semiasse minore $b$ dalla relazione:
$$ e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} $$A titolo di esempio, applichiamo la formula all’orbita terrestre, usando i dati noti per il semiasse maggiore dell’orbita $a$, che corrisponde all’unità astronomica ($\text{au}$), e il semiasse minore dell’orbita $b$, entrambi espressi in km:
$$ e_{\text{Terra}} = \sqrt{1 - \frac{{(\approx 149\,577\,000)}^2}{{(\approx 149\,598\,000)}^2}}\approx 0,01675 $$Il risultato ottenuto è in ottimo accordo con il valore canonico di $0,0167$.
Un dato rimarchevole che emerge dai dati usati per questo calcolo è che l’orbita terrestre è una circonferenza quasi perfetta: la differenza tra i due semiassi, lunghi quasi 150 milioni di km, è infatti di appena $21\,000\;\mathrm{km}$.
Dalla distanza focale all’eccentricità#
Un altro modo di calcolare l’eccentricità di un’orbita ellittica è calcolare il rapporto tra la distanza focale $c$ (la distanza dal centro a ciascun fuoco dell’ellisse) e il semiasse maggiore $a$, secondo la relazione:
$$ e= \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} $$In pratica, $c$ si ottiene applicando il teorema di Pitagora alle misure dei due semiassi dell’orbita. Eseguiamo anche in questo caso un calcolo esemplificativo, usando ancora una volta i dati dell’orbita terrestre:
$$ e_{\text{Terra}}= \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{(149\,598\,000) ^2 - (149\,577\,000)^2}}{149\,598\,000}\approx 0,01675 $$Otteniamo lo stesso risultato del calcolo precedente, $e \approx 0,01675$, con in più la determinazione della distanza focale $c$, che per l’orbita terrestre, è uguale a:
$$ c\approx\sqrt{(149\,598\,000) ^2 - (149\,577\,000)^2}\approx 2\,507\,000\;\mathrm{km} $$Tale risultato indica che il fuoco occupato dal Sole nell’orbita terrestre dista poco più di $2,5$ milioni di $\text{km}$ dal centro esatto dell’ellisse orbitale. Ciò spiega anche la differenza tra la distanza della Terra dal Sole all’afelio e quella al perielio. La prima, infatti, si ottiene sommando al semiasse maggiore dell’orbita $a$ ($149\,598\,000\;\mathrm{km}$) la distanza focale del Sole, la seconda sottraendo al medesimo semiasse $a$ la distanza focale del Sole:
$$ \begin{aligned} r_{\text{afelio}}=149\,598\,000+2\,507\,000=152\,105\,000\;\mathrm{km} \\ r_{\text{perielio}}=149\,598\,000-2\,507\,000=147\,091\,000\;\mathrm{km} \end{aligned} $$Se si conoscono già periastro e apoastro#
Dai precedenti rapporti deriva anche un altro metodo di calcolare l’eccentricità $e$ di un’orbita ellittica, se si conoscono già le distanze dal corpo centrale all’apoastro e al periastro (o all’afelio e al perielio nel caso del Sole):
$$ e = \frac{r_{\text{afelio}} - r_{\text{perielio}}}{r_{\text{afelio}} + r_{\text{perielio}}}, $$Anche qui, usiamo i dati della Terra per un calcolo esemplificativo:
$$ e_{\text{Terra}} = \frac{152\,105\,000 - 147\,091\,000}{{152\,105\,000 + 147\,091\,000}}\approx 0,01675 $$Otteniamo anche in questo caso un valore di $e$ perfettamente in linea con il dato ufficiale citato in letteratura ($e = 0,0167$).
Il valore di $e$ determina univocamente il tipo di traiettoria di un corpo nello spazio:
Orbita circolare#
$e = 0$: orbita circolare perfetta. Non ci sono due fuochi separati, ma un unico centro.
Orbita ellittica#
$0 < e < 1$: orbita ellittica. È il caso di tutti i pianeti del Sistema Solare, dei pianeti nani e delle comete periodiche. Più e si avvicina a 1, più l’ellisse è “schiacciata”.
Traiettoria parabolica#
$e = 1$: traiettoria parabolica. È un’orbita aperta di fuga: il corpo ha esattamente la velocità di fuga necessaria per sottrarsi all’attrazione del corpo centrale.
Traiettoria iperbolica#
$e > 1$: traiettoria iperbolica. È un’orbita aperta tipica degli oggetti interstellari come ‘Oumuamua e Borisov. È il tipo di traiettoria seguita da corpi che attraversano il Sistema Solare ad una velocità talmente elevata che la gravità solare non è in grado di catturarli.
I vincoli fisici dell’eccentricità#
Dal punto di vista fisico, l’eccentricità è strettamente legata all’energia orbitale specifica $\varepsilon$ (epsilon) e al momento angolare specifico $h$ del corpo orbitante. La relazione è:
$$ e = \sqrt{1 + \frac{2\varepsilon h^2}{\mu^2}}, $$dove $\mu$1 è la costante gravitazionale standard del corpo centrale.
Va notato che, per effetto delle perturbazioni gravitazionali e, nel caso di Mercurio, della relatività generale, l’eccentricità e l’orientamento dell’orbita possono variare lentamente nel tempo (precessione degli apsidi).
In sintesi, un’eccentricità elevata implica che il corpo subirà variazioni cinematiche e termiche estreme nel corso della sua rivoluzione: la sua velocità orbitale oscillerà drasticamente tra il valore massimo all’apocentro e quello minimo al pericentro, in accordo con la seconda legge di Keplero. Un esempio è la cometa di Halley, la cui eccentricità è $0,9671$, un valore prossimo a $1$.
$\mu = GM$, in cui $G$ è la costante di gravitazione universale e $M$, nel caso di corpi del Sistema Solare, la massa del Sole. ↩︎