Curva di luce

Come si legge una curva di luce#

Il tempo è di solito espresso in giorni giuliani¹, che permettono di confrontare senza ambiguità osservazioni separate da anni o da secoli. Quando la luminosità è espressa in magnitudini, l’asse verticale è rovesciato: le magnitudini più piccole, che corrispondono agli oggetti più brillanti, stanno in alto. Nelle curve di luce ottenute dallo spazio si preferisce invece il flusso normalizzato, posto uguale a $1$ quando la stella è al suo livello abituale. Le variazioni più piccole si esprimono allora in parti per milione (ppm).

Quasi sempre la luminosità di una stella si misura per confronto. La foschia, le nubi sottili e l’altezza sull’orizzonte indeboliscono della stessa frazione la luce di tutte le stelle di un piccolo campo. Se, per esempio, una velatura fa calare del $10\%$ la luce di ciascuna rispetto a quella che si riceverebbe a cielo limpido, il rapporto fra la luminosità della stella in studio e quella delle stelle vicine resta lo stesso e così pure la loro differenza di magnitudine. Per questo la stella sotto osservazione si misura rispetto ad alcune stelle vicine: nel confronto gli effetti dell’atmosfera si annullano e restano solo le reali variazioni di luminosità dell’oggetto studiato. È la fotometria differenziale. Le stelle di confronto devono però essere davvero costanti. Nel 1999 Gregory Henry e colleghi, mentre cercavano il transito² del pianeta di HD 209458, scartarono una delle tre stelle di confronto che avevano scelto, perché si rivelò a sua volta variabile, con un’ampiezza di circa un centesimo di magnitudine.

Quando una variazione si ripete con regolarità, la sequenza completa di cambiamenti che torna ogni volta uguale si chiama ciclo, mentre il tempo che un ciclo impiega a compiersi si chiama periodo. Il ciclo indica che cosa accade alla luce della stella, il periodo quanto tempo serve perché il ciclo si compia: i cicli si contano, il periodo si misura in unità di tempo. Le misure raccolte in molti cicli si possono allora sovrapporre in un unico ciclo, costruendo la curva di luce in fase. A ogni istante di osservazione $t$ si associa la frazione di ciclo trascorsa da un istante di riferimento $t_0$, per esempio un minimo:

dove $P$ è il periodo, espresso nella stessa unità di tempo di $t$ e $t_0$, e le parentesi $\lfloor\;\rfloor$ indicano la parte intera. La fase $\varphi$ varia quindi fra $0$ e $1$.

Consideriamo a titolo di esempio Algol, nota anche come Beta Persei. È in realtà un sistema di più stelle: due di esse ruotano l’una intorno all’altra in un’orbita stretta e si eclissano a vicenda, mentre una terza, più lontana, non partecipa alle eclissi. Il periodo delle due stelle centrali è di $2{,}867$ giorni: in ogni ciclo la più debole passa una volta davanti alla più brillante e la luce che riceviamo cala vistosamente per alcune ore, mentre per il resto del ciclo resta quasi costante. Fissiamo come istante di riferimento $t_0$ uno di questi minimi, osservato nel giorno giuliano $2\,460\,000{,}0$. Una misura eseguita dieci giorni dopo, al giorno giuliano $2\,460\,010{,}0$, ha fase:

In quei dieci giorni Algol ha compiuto tre cicli completi, e la misura cade poco prima della metà del quarto. Nella curva in fase questo punto va quindi a $\varphi = 0{,}488$, vicino a tutte le altre misure con fase uguale o simile, anche se raccolte in cicli diversi.

Il periodo di Algol era già noto da tempo. Quando, invece, una stella variabile è stata appena scoperta, il periodo è proprio ciò che si cerca. Di solito le misure sono sparse, interrotte dal giorno, dal maltempo e dalla stagione, per cui ciascuna notte di osservazione coglie solo un frammento di ciclo. Si calcola allora la fase di ogni misura con molti periodi di prova. Con il periodo giusto ogni misura viene associata alla fase corrispondente al punto del ciclo in cui la stella si trovava davvero e i punti raccolti in cicli diversi si dispongono lungo una curva netta. Con un periodo sbagliato le fasi non corrispondono e i punti si disperdono nel grafico. Scegliere il periodo che produce la curva più ordinata è uno dei modi più semplici per trovare il periodo di una stella variabile. Questo tipo di fase, che misura il tempo all’interno di un ciclo, non ha nulla a che vedere con l’angolo di fase, che è invece una grandezza geometrica.

Dall’occhio ai rivelatori#

Nella seconda metà del Seicento Geminiano Montanari, a Bologna, aveva notato che Algol appariva di grandezza diversa in anni diversi. Fu però John Goodricke, un giovane astronomo inglese, a scoprire la regolarità del fenomeno. In una lettera letta alla Royal Society il 15 maggio 1783, Goodricke riferì di aver visto la stella cambiare luminosità per la prima volta il 12 novembre 1782. Dalla fine di dicembre l’aveva seguita in ogni notte serena, confrontandola con le stelle vicine, e l’amico Edward Pigott ne aveva confermato le osservazioni. Algol restava per la maggior parte del tempo alla sua luminosità abituale, quella di una stella di seconda grandezza. Poi, in circa tre ore e mezza, scendeva fino a circa la quarta grandezza e in altrettanto tempo tornava come prima: l’intero calo durava quindi circa sette ore. Goodricke si accorse che questi cali si ripetevano a intervalli regolari. Per stabilirne il periodo, cioè il tempo che separa l’inizio di un calo da quello successivo, divise gli intervalli fra i minimi osservati per il numero di ripetizioni avvenute nel frattempo, e ottenne ogni volta circa $2$ giorni, $20$ ore e tre quarti. Come causa avanzò due ipotesi: un grande corpo in orbita intorno alla stella, che la oscurava periodicamente, oppure una rotazione di Algol, che portava verso la Terra una parte della sua superficie coperta di macchie. Precisò comunque che il suo scopo era comunicare fatti e non congetture. Quella di Goodricke era una curva di luce raccontata a parole e senza alcun grafico, ma conteneva già il procedimento essenziale: confronti con stelle di riferimento e ricerca del periodo attraverso il confronto dei tempi dei minimi.

Nell’Ottocento le stime a occhio divennero un metodo codificato, il “metodo dei gradini” che prende il nome dall’astronomo tedesco Friedrich Argelander, in cui la luminosità della variabile si stima per piccoli scarti rispetto a stelle di confronto. Lo usano ancora oggi gli osservatori amatoriali di stelle variabili. Come ricostruisce Kevin Krisciunas nella sua storia della fotometria, nel 1850 John Adams Whipple ottenne all’Osservatorio di Harvard la prima fotografia di una stella. Pochi anni dopo, nel 1856, Norman Pogson diede alla scala delle magnitudini la definizione matematica moderna. Nei decenni seguenti la lastra fotografica permise di misurare insieme molte stelle e di conservarne la registrazione. Proprio sulle lastre di Harvard Henrietta Leavitt studiò le variabili della Piccola Nube di Magellano. Nel 1912 pubblicò i periodi di $25$ di esse, ricavati dalle loro curve di luce: diminuivano lentamente di luminosità, restavano a lungo vicino al minimo e risalivano molto in fretta fino a un breve massimo. Leavitt notò inoltre che le variabili più brillanti avevano i periodi più lunghi, una relazione che si rivelò fondamentale per misurare le distanze.

La svolta successiva venne dai rivelatori elettrici. Joel Stebbins, dell’Università dell’Illinois, mise una cella al selenio, raffreddata nel ghiaccio, al fuoco di un rifrattore da dodici pollici. Dopo una curva di luce della Luna pubblicata nel 1907 con F. C. Brown, nel 1910 Stebbins misurò quella di Algol con un errore probabile di circa sei millesimi di magnitudine fuori dall’eclisse principale, una precisione che nessun metodo visuale o fotografico aveva mai raggiunto. Le velocità radiali³ misurate da Hermann Carl Vogel avevano già dimostrato che Algol è una binaria a eclisse. Stebbins scoprì un minimo secondario⁴ profondo appena sei centesimi di magnitudine, che gli osservatori visuali avevano cercato invano, e ne concluse che la compagna non è un corpo oscuro, ma una stella meno luminosa di Algol. Notò anche una lenta variazione continua fra un minimo e l’altro, che attribuì all’emisfero della compagna illuminato da Algol, visibile in misura diversa durante l’orbita.

Dopo il 1945 il fotomoltiplicatore⁵ sostituì la lastra come strumento principale della fotometria. Nel 1953 Harold Johnson e William Morgan definirono il sistema di filtri UBV⁶. Nel 1970 fu presentato il CCD, un sensore che registra fino al $70\%$ e oltre dei fotoni che lo colpiscono, mentre una lastra fotografica ne registra di solito circa l’$1\%$. L’ultimo passo è stato portare i rivelatori nello spazio, lontano dalla turbolenza dell’atmosfera, dove le variazioni misurabili sono scese a poche decine di parti per milione.

Che cosa racconta una curva di luce#

Nelle binarie a eclisse ogni periodo orbitale contiene due minimi, uno per ciascuna stella eclissata. La profondità dei minimi dipende dalla luminosità superficiale della stella nascosta, mentre la loro durata e la loro forma dipendono dai raggi delle due stelle rispetto alle dimensioni dell’orbita e dall’inclinazione dell’orbita rispetto alla linea di vista. Unita alle velocità radiali, la curva di luce permette di ricavare masse e raggi delle due stelle in unità assolute: è il metodo più diretto che si conosca per misurare i parametri principali delle stelle.

Nelle variabili pulsanti, come le Cefeidi e le RR Lyrae, la stella si espande e si contrae. La curva di luce assume la forma asimmetrica descritta da Leavitt, con una salita rapida e una discesa lenta. Oscillazioni molto più piccole, presenti anche in stelle come il Sole e nelle giganti rosse, sono l’oggetto dell’astrosismologia, che dalle loro frequenze ricostruisce la struttura interna della stella.

La rotazione lascia anch’essa una traccia nelle curve di luce. Le macchie di una stella attiva entrano ed escono dal disco visibile e modulano la luce con il periodo di rotazione. Un asteroide di forma irregolare mostra all’osservatore superfici di estensione diversa mentre ruota, e la sua curva di luce presenta di solito due massimi e due minimi per ogni giro. Le curve di luce raccolte in notti diverse sono poi il materiale da cui si costruisce la curva di fase.

Il transito di un pianeta davanti alla sua stella produce un calo di luce piccolo, regolare e dal fondo arrotondato, che si ripete a ogni orbita. È oggi il metodo con cui è stato scoperto il maggior numero di pianeti extrasolari o esopianeti.

Le esplosioni stellari hanno curve di luce che salgono rapidamente fino a un massimo e poi declinano nel corso di settimane o mesi.

Nelle novae⁷ una stella di solito debole aumenta di $8\text{-}20$ magnitudini e raggiunge il massimo in pochi giorni. Poi declina abbastanza in fretta, nell’arco di settimane o mesi, e infine più lentamente, fino a tornare alla luminosità di quiete. La rapidità del declino si esprime con i tempi $t_2$ e $t_3$, cioè con i giorni che la nova impiega a scendere di $2$ o $3$ magnitudini sotto il massimo. Già negli anni Trenta Fritz Zwicky e Dean McLaughlin la misero in relazione con la luminosità al massimo: le novae più luminose sembravano essere anche quelle che declinano più in fretta. Si sperava così di usare le novae per misurare le distanze. Nel 2010 Richard Strope, Bradley Schaefer e Arne Henden classificarono $93$ curve di luce ben osservate in base alla loro forma. Distinsero per esempio le curve regolari, quelle con un tratto piatto e quelle con “buchi di polvere”: in queste la luce crolla all’improvviso, perché nel gas espulso si forma polvere che nasconde la stella, e risale quando l’involucro, espandendosi, si dirada. Nel 2018 Schaefer, con le distanze misurate dalla sonda Gaia, giudicò la relazione fra luminosità e rapidità del declino troppo imprecisa per essere usata come “calibro” per le distanze.

Per le supernove di tipo Ia⁸ la storia andò diversamente. Yuri Pskovskii aveva proposto fin dagli anni Settanta un legame fra la luminosità al massimo e la rapidità del declino, ma il risultato era stato messo in dubbio. Nel 1993 Mark Phillips lo confermò su nove supernove con curve di luce precise e ben campionate: le più luminose al massimo sono quelle che declinano più lentamente, all’opposto di quanto si era osservato per le novae. Da allora la forma della curva di luce serve a correggere la luminosità di queste supernove, che diventano così indicatori di distanza molto più affidabili.

Il transito di un pianeta#

Se, rispetto al nostro punto di osservazione, un pianeta di raggio $R_p$ passa davanti a una stella di raggio $R_\star$, il pianeta copre una frazione del disco stellare pari al rapporto fra le aree dei due dischi. La profondità del transito $\delta$, cioè la frazione di flusso che viene a mancare, vale quindi:

La formula vale per un disco stellare di luminosità uniforme (l’elevazione al quadrato della frazione tra parentesi ci ricorda che si tratta di un rapporto tra aree). Il disco reale è più scuro verso il bordo⁹, e per questo il fondo della curva di transito non è piatto ma arrotondato. In magnitudini, la stessa profondità corrisponde a:

Per un pianeta come Giove ($R_p = 71\,492\;\mathrm{km}$) in transito davanti a una stella come il Sole ($R_\star = 695\,700\;\mathrm{km}$):

si osserva, cioè, un calo della luminosità di circa l’$1\%$, pari a:

Per un pianeta come la Terra ($R_p = 6\,378\;\mathrm{km}$):

il calo di luminosità è di appena $84$ parti per milione, meno di un decimillesimo di magnitudine. La differenza tra un transito di Giove e uno della Terra spiega perché i primi pianeti scoperti con questo metodo fossero tutti giganti gassosi e perché, per trovare pianeti di taglia terrestre, siano stati necessari i telescopi spaziali.

Il ragionamento si può anche rovesciare: dalla profondità misurata si ricava il raggio del pianeta, purché si conosca quello della stella. Henry e colleghi osservarono l’inizio di un transito di HD 209458 b la notte del 7 novembre 1999, con un telescopio automatico da $0{,}80$ metri in Arizona. Misurarono un calo di $0{,}017$ magnitudini, pari all’$1{,}58\%$ del flusso. Con un raggio stellare calcolato in $1{,}15$ raggi solari si ottiene:

circa $1{,}4$ volte il raggio di Giove, in accordo con il valore di $1{,}42$ raggi gioviani pubblicato dagli autori. Qualche settimana prima, David Charbonneau e colleghi osservarono due transiti completi dello stesso pianeta, il 9 e il 16 settembre 1999, con una piccola camera Schmidt di circa $10$ centimetri di apertura. Con un modello che teneva conto dell’oscuramento al bordo e dell’inclinazione dell’orbita e con un raggio stellare di $1{,}1$ raggi solari, ottennero $1{,}27$ raggi gioviani. La differenza tra i due valori mostra quanto il risultato dipenda dalla completezza della curva, dal modello adottato e soprattutto dal raggio della stella, che gli stessi autori indicarono come la principale fonte di incertezza.

Gli strumenti#

Per i giganti gassosi in orbite strette bastano telescopi piccoli, come mostra il caso di HD 209458. Per riuscire a registrare curve di luce con cali della luminosità di poche decine di parti per milione serve un telescopio spaziale.

CoRoT, una missione dell’agenzia spaziale francese CNES con la partecipazione dell’ESA, fu lanciato il 27 dicembre 2006 con un telescopio di $27$ centimetri e raccolse le curve di luce di circa $160\,000$ stelle.

Kepler, della NASA, fu lanciato nel marzo 2009 su un’orbita intorno al Sole che lo allontanava gradualmente dalla Terra. Aveva un correttore di $0{,}95$ metri di apertura, uno specchio primario di $1{,}4$ metri e puntava un campo di $115$ gradi quadrati fra le costellazioni del Cigno e della Lira. Osservò quasi senza interruzioni circa $150\,000$ stelle per quattro anni. Era stato progettato per rivelare il singolo transito, della durata di $6{,}5$ ore, di un pianeta grande come la Terra davanti a una stella di magnitudine $12$ simile al Sole: proprio il calo di circa $84$ parti per milione calcolato sopra. Dopo un guasto avvenuto nel 2013, che impedì al telescopio di continuare a puntare con precisione la regione designata per le sue osservazioni, continuò a lavorare con la missione K2, osservando campi diversi lungo il piano dell’eclittica, fino al ritiro, il 30 ottobre 2018. Gli si deve la scoperta di oltre $2\,600$ esopianeti.

TESS, lanciato dalla NASA il 18 aprile 2018, adotta la strategia opposta: invece di fissare a lungo un solo campo, scruta gran parte del cielo alla ricerca di pianeti intorno alle stelle più vicine e brillanti, più facili da studiare in seguito con altri strumenti. Le sue quattro camere hanno lenti di $10{,}5$ centimetri di apertura e coprono ciascuna $24 \times 24$ gradi; insieme formano una striscia di $24 \times 96$ gradi. TESS osserva ogni striscia, detta settore, per $27{,}4$ giorni, pari a due giri della sua orbita intorno alla Terra, poi passa alla successiva.

Il prossimo grande strumento spaziale sarà PLATO, dell’ESA, dotato di $26$ camere: il lancio è previsto nel 2027 e il suo obiettivo principale saranno i pianeti di taglia terrestre nella zona abitabile di stelle simili al Sole.

Tre casi esemplari#

Kepler-16: un pianeta con due soli#

La stella KIC 12644769 era già nota come binaria a eclisse con un periodo di $41$ giorni. Durante l’eclisse principale la stella più piccola, B, copre in parte la più grande, A, e la luce del sistema cala di circa il $13\%$. Durante l’eclisse secondaria, B scompare per intero dietro A e la luce cala dell’$1{,}6\%$. Nella curva di luce di Kepler comparvero poi altri tre cali, separati da intervalli diversi, di $230{,}3$ e $221{,}5$ giorni. Laurance Doyle e colleghi notarono che quei cali erano dell’$1{,}7\%$: più della riduzione di flusso dovuta all’eclisse di B. Non potevano quindi essere dovuti alla stella secondaria del sistema. La causa dell’eccesso di riduzione del flusso doveva essere il passaggio di un terzo corpo davanti ad A.

Gli intervalli irregolari si spiegavano con un’orbita intorno a entrambe le stelle, che a ogni passaggio si trovavano in punti diversi della loro orbita reciproca. Gli autori individuarono poi cali molto più deboli, dello $0{,}1\%$, dovuti al passaggio del terzo corpo davanti a B, e ne previdero altri due, che furono trovati nei dati. Restava da stabilire se il terzo corpo fosse un pianeta o una piccola stella. Lo decisero i tempi delle eclissi delle due stelle, che si discostavano dalla periodicità perfetta di circa un minuto: un modello gravitazionale a tre corpi mostrò che il terzo corpo doveva avere meno massa di Giove. Avevano scoperto un pianeta circumbinario, Kepler-16 b, simile a Saturno per massa e dimensioni, che percorre in $229$ giorni un’orbita intorno a due stelle di $0{,}69$ e $0{,}20$ masse solari. Tutto questo fu ricavato da una sola curva di luce, completata dalle velocità radiali.

Betelgeuse: che cosa una curva di luce non può dire#

Fra la fine del 2019 e l’inizio del 2020 la luminosità di Betelgeuse scese fino alla magnitudine visuale $+1{,}6$, il valore più basso dall’inizio delle misure strumentali, come racconta l’articolo dedicato alla stella. La curva di luce misurava con precisione quanta luce mancava, ma non poteva dire perché, dal momento che registra la luce dell’intero disco stellare: un raffreddamento della superficie o una nube di polvere davanti alla stella potevano produrre lo stesso calo. Per capire la causa del fenomeno servirono le immagini. Miguel Montargès e colleghi osservarono il disco della stella con lo strumento SPHERE del Very Large Telescope, prima e durante l’oscuramento: a dicembre 2019 e a gennaio 2020 l’emisfero meridionale della stella era oltre dieci volte meno brillante di quello settentrionale. Gli autori conclusero che una zona della fotosfera si era raffreddata e che il gas al di sopra, raffreddandosi a sua volta, aveva formato una nube di polvere che oscurava parte della stella. In altre parole, SPHERE aveva potuto risolvere il disco di Betelgeuse, mentre, per gli strumenti che registrano la curva di luce, ogni stella, anche la più brillante, resta solo un punto luminoso.

KIC 8462852: una curva di luce senza modello#

Nel 2016 Tabetha Boyajian e colleghi descrissero la curva di luce di una stella osservata da Kepler, segnalata dai volontari del progetto Planet Hunters. Accanto a piccoli cali dello $0{,}5\text{-}1\%$ comparivano due episodi profondi: un calo del $15\%$ verso il giorno $800$ della missione e una serie di cali, il più profondo del $22\%$, dopo il giorno $1500$. Ogni episodio durava da pochi giorni a quasi tre mesi, i cali avevano forme irregolari e non si ripetevano con alcun periodo. Un pianeta o una stella compagna avrebbero prodotto cali periodici e di forma regolare. Osservazioni successive in più bande di colore mostrarono che i cali sono più profondi nel blu che nel rosso, come accade quando la luce attraversa una nube di polvere fine e non quando viene bloccata da un corpo solido: l’ipotesi oggi più accreditata è quindi la polvere, anche se la sua origine resta da chiarire. Il caso di questa stella singolare resta comunque un esempio di come una curva di luce non serva soltanto a fornire i dati di appoggio per ragionare su fenomeni noti, ma anche a segnalare fenomeni che sfidano la comprensione, comportamenti che non rientrano in alcun modello conosciuto.